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sexta-feira, 17 de abril de 2015

Funções Linear e Afim - Descobrindo e Exercitando




Quase Tudo é Função



Com o que foi visto até o momento é possível relacionar uma série de conceitos matemáticos ao nosso dia-a-dia. 

Por exemplo, se você é estudante, certamente sua sala de aula tem por volta de 30 a 40 pessoas. Vamos admitir que tenha 40. Temos, então, o conjunto de alunos de sua sala, formado por essas 40 pessoas. Deve haver, certamente, 40 carteiras, para que cada aluno possa se acomodar. Assim, existe o conjunto formado pelas carteiras da sala de aula. Observe que cada aluno ocupa somente uma carteira. Em outras palavras, um elemento do conjunto de alunos está relacionado a apenas um elemento do conjunto de carteiras. Então, a relação entre os alunos e as carteiras da sala de aula pode ser vista como uma função.


Assim como o exposto acima, há inúmeros exemplos de funções e suas aplicações na vida de todos nós (o custo do combustível em função do quanto o utilizamos, as contas de energia e água de acordo com o tanto que consumimos, e por aí vai). Vamos ver dois tipos delas, a princípio.

A Reta

Quando vimos a respeito de Proporcionalidade - reveja aqui - percebemos que se duas grandezas são proporcionais, então elas crescem (ou decrescem) no mesmo ritmo, dependendo aí se são direta ou inversamente proporcionais.

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Por exemplo,

    Se eu caminho 50 metros a cada minuto, então, conforme aumenta o tempo transcorrido, também aumenta a distância caminhada. Em 2 minutos, serão 100 metros (que é o mesmo que 2 ∙ 50), em 3 minutos teremos 350 = 150 metros percorridos, e em x minutos serão x50 metros percorridos. Assim, a distância vai depender do tempo, sempre na proporção Distância = tempo ∙ 50

Isto quer dizer que a distância está em função do tempo, ou, em outras palavras, conforme o tempo varia, a distância também o faz.

Assim, temos d = 50x, com d sendo a distância e x sendo o tempo. Conforme o tempo aumenta, a distância percorrida também aumentará. Isso é o que se chama de crescimento linear.
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De um modo geral, as relações que representam essas funções, tem a forma

    f(x) = ax   (a ∈ , onde * denota o conjunto dos números reais não nulos - sem o zero). 
   Dizemos que trata-se de uma Função Linear.

Note que a função é aplicada em x, ou seja, depende do valor de x
Cada valor x é associado ao seu y correspondente à quantia dada por f(x) = ax (reveja aqui os conceitos gerais sobre Funções).


Colocando no Plano

Toda função pode ser representada no plano cartesiano. 
No caso da Função Linear, a cada variação de x, por menor que seja, existirá um valor y correspondente, que quando marcado no plano, toma a forma de uma reta.

O valor a é chamado de coeficiente angular, pois é ele quem determina a inclinação da reta em relação ao eixo x (neste caso, o eixo dos minutos). Veja:


A Função Linear é um caso particular da Função Afim




Mas o que é uma Função Afim?


É uma função bem parecida com a linear, mas com um termo a mais em sua composição. É toda função que puder ser escrita na forma

    f(x) = ax + b (com a diferente de zero)


Observe que se b = 0, teremos f(x) = ax. Isto é, voltaremos para a função linear. E mais, se o a fosse zero, tanto na função afim quanto na linear, teríamos uma função dita Constante, já que pra qualquer valor de x no Domínio (conjunto de partida) chegaríamos no mesmo y no contradomínio.


O a continua sendo quem dita a inclinação da reta em relação ao eixo horizontal. O valor b diz o comportamento dela em relação ao eixo vertical, ou seja, o que pode-se chamar de "altura". Conforme b aumenta, o gráfico "sobe", e o contrário também ocorre.

Agora, se x = 0, perceba que a função assumirá o valor b. Isto quer dizer que quando a reta não tem coordenada no eixo horizontal, ela corta o eixo vertical no ponto y = b.

Do mesmo modo que na função linear, se a for positivo, o gráfico será crescente e se for negativo, será decrescente
Em outras palavras, os valores da função aumentam quando o domínio (eixo x) aumenta (ela é crescente) ou os valores que resultam da aplicação da função diminuem conforme vão aumentando os valores do domínio (se ela for uma função decrescente).

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Veja o exemplo da função f(x) = x − 1


Oportunamente faremos uma publicação especialmente para tratar dos principais gráficos de funções e outras maneiras de obtê-los.

A princípio, basta saber 2 pontos que satisfazem a Função Afim para poder esboçar seu gráfico.

Mas por que 2 pontos?

Porque por 2 pontos do plano existe uma única reta que passa por eles.

No exemplo acima, os pontos (1, 0), ou seja, x = 1 e y = 0, e (2, 1), isto é, x = 2 y = 1, fazem parte do gráfico desta função. Como sei disso? Ora, dando valores a x e chegando a valores do y

    Veja:
            Quando atribuo o valor
1 para o x, a função me retorna 0 
                 f(1) = 1 − 1.     Então,      f(1) = 0  e assim o ponto (1, 0) pertence ao gráfico.

            Isto quer dizer que a função aplicada no valor x = 1 de seu domínio retorna 0, que é a imagem deste x. Ou ainda, em x = 1 a função vale 0. Então x é chamado Raiz da Função (é o valor que zera a função). 

         Analogamente, se x = 2, teremos f(2) = 2 − 1 = 1. Então, o ponto (2, 1) também está neste gráfico. Como se trata de uma reta, bastam 2 pontos para traçá-la!

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Note que, no caso da Função Afim, para qualquer valor no eixo x (domínio da função), é possível encontrar um valor correspondente no eixo y (eixo do contradomínio). 
Assim, todos os valores x, isto é, todos os números reais, são o domínio dessa função, bem como todos os números reais do contradomínio (eixo y) são imagem de algum x do domínio. 

    Portanto,

         Domínio (D) da função é:   D(f) = ℝ   (Conjunto dos Números Reais)
         Imagem  (Im) da função :  Im(f) = ℝ



Toda função pode ser denotada (nomeada, representada) por qualquer letra, nome ou símbolo que você quiser. É usual utilizar a letra f para falar de funções, mas nada impede de termos uma função w(x), por exemplo. Ou se a variável não for x (pois também pode-se denotar a variável por outras letras), pode-se ter w(t), s(h), etc.





Bem, depois de tanta informação, é melhor praticar um pouco!



EXERCÍCIOS




1. Sendo uma função r dada pela lei r(x) = 2x + 5, onde o domínio é o conjunto A = {1, 2, 4, 7} e o contradomínio é o conjunto B = {0, 1, 2, 8, 9, 11, 13, 19, 20}, qual é o conjunto Imagem esperado?
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2. Seja s: ℝ → , dada por s(x) = 3x, determinar os conjuntos Domínio e Imagem.
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3. Por que a relação h que tem como domínio
T = {0, 1, 2} e contradomínio W = {−1, 1}, onde os elementos dos conjuntos são associados conforme abaixo, não é função?


          h:
                     T                W
                     0       →       1
                     1       →        1
                     1            −1
                     2            −1

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4. Esboce o gráfico das seguintes funções:

    a)   f(x) = x
    b)   s(x) = x + 2
    c)   t(x) = x − 3
    d)   h(x) = −x
    e)   r(x) = −2x + 2
    f)   w(x) = 1 − 3x
    g)   z(x) = 5
    h)   c(x) = 2x, se x ≥  0, −2x − 1, se x<  0
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5. Em quais itens do exercício anterior o gráfico da função é uma reta decrescente?


quarta-feira, 11 de março de 2015

Relações e Funções - Parte II

O Contradomínio

No estudo das Relações que fizemos anteriormente, vimos que um certo conjunto possui elementos que se relacionam com os elementos de um segundo conjunto. Essas relações podem ser de vários tipos e, especialmente, temos as relações que representam as chamadas Funções. Já vamos entrar mais a fundo neste tema, mas antes precisamos de algumas informações.



O conjunto inicial - muitas vezes chamado de conjunto de partida - é dito Domínio. O segundo conjunto, que possui todos os possíveis valores para a função/relação assumir, é o Contradomínio.



Todos os elementos do Contradomínio que tiverem um correspondente no domínio formam um conjunto especial chamado Imagem. Caso não sobre elementos sem "receber a flecha" (sem ter correspondente) no conjunto de chegada, então o próprio contradomínio será também o conjunto imagem da relação. Isso ocorre no exemplo da figura acima, ou seja, Im = {x, y, z}.


Função

Se a cada valor do conjunto de partida (domínio) eu relacionar (associar) um único valor no conjunto de chegada (contradomínio), isto é, se você partir de um elemento do domínio e chegar a apenas um elemento do contradomínio, então esta relação é chamada de Função. Veja:



Neste exemplo, temos como Domínio o conjunto {1, 2, 3}, e como Contradomínio, o conjunto {2, 3, 4}. Repare que não sobram elementos no contradomínio sem se relacionar, portanto ele também é o conjunto Imagem.

Note que cada item do Domínio é levado (se relaciona, corresponde) a somente 1 item no Contradomínio.

Vejamos o que esta função faz:

  • o elemento 1 do Domínio tem como correspondente o 2 no Contradomínio;
  • o 2 do domínio tem o 3 como correspondente no Contradomínio;
  • o 3 do domínio é ligado ao 4 do Contradomínio.

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Então, cada item x do domínio, corresponde um item dado por x + 1 no contradomínio. E essa relação é a Lei de Formação da Função.
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Numa função, quando aplicamos a Lei de Formação a um elemento do domínio, chegamos ao seu correspondente na Imagem, e esse correspondente é chamado de y. Também podemos chamá-lo de f(x), pois estamos aplicando a relação f (Lei de Formação da Função) ao elemento x do domínio, obtendo como resultado o elemento y da imagem.

Assim, podemos descrever a função como:

    f: Dom → Contradomínio (CD)
            x  → f(x)

Lemos a notação acima do seguinte modo: f é uma função com partida no conjunto do Domínio e chegada no conjunto Contradomínio, onde a cada x do Domínio é associado um único valor f(x), dito Imagem de x, no contradomínio.

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Aplicando esta notação à função do nosso exemplo, temos:

    f: {1, 2, 3} → {2, 3, 4}
             x       →  x + 1

Mais diretamente, após definidos os conjuntos de Domínio e Imagem, podemos citar a função pela Lei de Formação:

    f(x) = x + 1
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Observe que ao substituirmos cada valor x do domínio na lei de formação, encontraremos seu respectivo y da imagem, ou seja, o seu f(x). Por exemplo,

    Substituindo x por 1:

        f(1) = 1 + 1 → f(1) = 2

    Substituindo x por 2:
 
        f(2) = 2 + 1 → f(2) = 2

    Substituindo x por 3:

        f(3) = 3 + 1 → f(3) = 4



Em breve publicarei mais a respeito de Funções. Enquanto isso, exercite seu aprendizado!!!




Exercícios



1. Identifique qual (ou quais) relação (ou relações) a seguir representa (m) uma função:



2. Dados os conjuntos A = { −1, 0, 1, 2, 3 } e B = { −3, −2, −1, 0, 1, 2 } 
e a relação R = {(x,y) ∈ A X B / y = x − 2}



        a) Descreva R em forma de pares ordenados;         
        b) Construa um diagrama de flechas;       
        c) Identifique se essa relação é uma função. 


3. Dada a função f(x) = 3x - 1, qual é o valor de f(-5)?



4. Seja a relação R dada por R = 1/x. Para quais valores de x podemos dizer que R representa uma função?



5. Dadas as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x - 1, qual o valor de f(g(3))?