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quinta-feira, 25 de dezembro de 2014

Fim de Ano e Vamos em Frente!

Um bom final de ano a todos e vamos em frente com nossos sonhos!


2015 está aí e estaremos juntos, batalhando pelas nossas futuras conquistas!




Boas Festas!



quinta-feira, 30 de outubro de 2014

Conjuntos - Conhecendo e Trabalhando

Os Conjuntos


Já vimos aqui, praticamente desde o início das publicações, algumas coisas a respeito de conjuntos, mais especificamente os conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.

Então, já sabem que um conjunto nada mais é que uma coleção de elementos com características em comum.


É com naturalidade, então, que podemos definir:



  1. Conjunto Vazio: não tem elementos;
  2. Conjunto Unitário: tem apenas 1 elemento;
  3. Conjunto Finito: quantidade enumerável de elementos;
  4. Conjunto Infinito: é dado por uma propriedade que deverá ser satisfeita para cada um de seus elementos;
  5. Igualdade: um conjunto é igual a outro se, e somente se, todos os seus elementos forem iguais.


Listando



Listar um conjunto é descrevê-lo com todos os seus elementos. Damos um nome a ele, indicando por uma letra maiúscula de nosso alfabeto, e entre chaves colocamos seus elementos, separados por vírgulas (caso precise utilizar letras para representar os elementos, utilize as minúsculas).



Por exemplo, o conjunto A dos números inteiros estritamente positivos menores que 10.


    A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ou A = {a ∈ Z ∕ a < 10} 

Veja que este conjunto A é finito, pois é possível enumerar seus elementos.


Note ainda, que um dado conjunto B = {3, 2, 1, 4, 5, 7, 6, 8, 9} é exatamente igual ao conjunto A,
pois todos os elementos são iguais.

    Assim, A = B se, e somente se, todo elemento de A também estiver em B, e vice-versa.


======================
Obs:

    Conjunto Vazio: { } ou ø
    Conjunto Unitário: {a}
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Para continuar o tema dos conjuntos, precisaremos de alguns esclarecimentos sobre meios que vamos utilizar para operar com seus elementos e outros conjuntos. São as relações existentes sobre os conjuntos.



Pertinência




    Relaciona um elemento ao conjunto que ele pertence. Ou seja, define se um elemento está ou não em um dado Conjunto. Simbolicamente temos:


    Pertence: ∈
    Não Pertence: ∉


Subconjunto



    Quando todos os elementos de um dado conjunto também pertencem a um outro conjunto diferente do primeiro, dizemos que um está contido no outro. Isto é,



        Dados os conjuntos não-vazios A e B. Se todo elemento de A está em B mas nem todo elemento de B está em A, então dizemos que A está contido em B e, por consequência, A é subconjunto de B. Denotamos assim:



    A  ⊂  B



        Um outro modo de ver essa mesma relação é enxergando que B contém o conjunto A, denotando:



    B  ⊃  A



Assim:


    Está Contido:  ⊂

    Não Está Contido:  ⊄
    Contém:  ⊃
    Não Contém:  



União de Conjuntos



    Se temos dois conjuntos diferentes, A e B, e resolvemos descobrir a união deles, teremos nada mais que um terceiro conjunto que conterá todos os elementos dos outros dois.



   Notação:  ∪



    Por exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 2, 6} e B = {-2, 0, 1}, qual é o conjunto A  ∪  B ?


        A  ∪  B  =  {-2, 0, 1, 2, 6}



Interseção de Conjuntos



   A interseção é o subconjunto dado por todos os elementos que estão ao mesmo tempo em A e em B.

    Notação:  ∩

    Exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 2, 6} e B = {-2, 0, 1}, qual é o conjunto A ∩ B ?


            A ∩ B = {0}





Conjunto vazio é diferente de um conjunto unitário que contém o elemento zero.
A = ø  ≠  B = {0}


Diferença de Conjuntos



    É formada pelos elementos que estão no primeiro conjunto mas não estão no segundo.

    Notação: A∖B    ou    A − B

    Exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 2, 6} e B = {-2, 0, 1}, a diferença entre A e B é dada por


            A−B = {2, 6}



Complementar



    É a diferença de conjuntos quando o segundo é um subconjunto do primeiro.



    Notação: AC



    Por exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 2, 6} e seu subconjunto D = {0, 6}, temos que o complementar de D em A é dado por:


    DC   =  A − D = {0, 2, 6} − {0, 6} = {2}


____________________________

Quando precisamos relacionar dois conjuntos ordenando seus elementos 2 a 2, temos um Produto Cartesiano.



Em outras palavras, dados dois conjuntos distintos A e B, o produto cartesiano A × B (A cartesiano B) é dado por pares formados de um elemento de A com um elemento de B, onde a ordem importa.


Então, 

    A × B = { (a, b) | a ∈ A e b ∈ B } 
    Leia: A cartesiano B é o conjunto dos pares ordenados (a, b) tais que a pertence ao conjunto A e b pertence ao conjunto B.
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sábado, 18 de outubro de 2014

Porcentagem


 O que é?


São muitas as situações que vivenciamos a utilização da porcentagem. Basta ir a um shopping e dar uma breve caminhada para encontrar cartazes promocionais nas lojas oferecendo variados valores de desconto, sempre utilizando-se da porcentagem: "Só hoje, 30% de desconto"; "Pague à vista e economize 5%"; e por aí vai.

Este símbolo % representa a taxa percentual:  50% (leia: cinquenta porcento)


Isso tudo nada mais é que um comparativo entre dois valores, ou seja, uma proporção. E ela é expressa numa razão centesimal - fração com o número 100 no denominador.


Então, a porcentagem é uma proporção que compara dois valores tendo como base o número 100. Sendo assim, seu valor também representa uma parte de um todo, e esse todo equivale a 100 porcento - ou 100%.

Como Calcular


Com essas informações ficou simples apresentar o cálculo da porcentagem.

    Calcule quanto vale 25% de 300.
        Como vimos, a porcentagem é dada por uma razão de denominador 100, ou seja, é a parte (25) de um todo (100). Então, 

        25% equivale a 25/100
        Agora, para saber quanto isso representa de um determinado valor, nesse caso o 300, procedemos do seguinte modo:
   
        (25/100) . 300 = (25 . 300) / 100
        Essa conta resultará em 75. 
        Portanto, 25% de 300 são 75.

Dissemos também que a porcentagem compara valores. Pode-se montar uma proporção simples com uma incógnita para o valor que desejamos encontrar (ou seja, uma regra de três simples):

    100% equivale a 300
      25% equivale a x

    Então, 100x = 25 . 300
               x = (25 . 300)/100
               x = 75

Repare que se você tiver uma determinada quantidade e quiser descobrir qual porcentagem ela representa do total, basta dividir esta quantia pelo total (pois porcentagem é a parte dividia pelo todo), e como trabalhamos com base centesimal, o resultado é multiplicado por 100.


    Por exemplo,

        Tenho 30 camisas vermelhas de um total de 70 camisas em meu armário. Qual é a porcentagem de camisas vermelhas?

     Basta fazer a conta de 30/70 e multiplicar o resultado por 100.  Assim:

        30/70 = 0,4286
        0,4286 . 100 = 42,86
    Portanto, em meu armário 42,86% das camisas são vermelhas.

O Fator de Multiplicação


Um outro modo de se chegar direto ao resultado em uma conta de porcentagem é através do fator de multiplicação.

Trata-se de um número pelo qual multiplica-se a quantidade inicial para se obter o resultado após aplicada a taxa percentual.
Se você quer calcular quanto custaria um produto de 80 reais após dado um desconto de 15%, basta multiplicar o valor 80 pelo fator de multiplicação correspondente. Mas como saber qual será esse fator?

É simples, se for calcular um acréscimo, o fator é dado somando 1 à forma decimal da razão que representa a porcentagem. Se for um decréscimo, então você irá subtrair do 1 essa quantia da razão da porcentagem

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Para um acréscimo de 10%, por exemplo, teríamos o fator 1 + 10/100 = 1 + 0,1 = 1,1.
Para um descréscimo de 20% teríamos o fator 1 - 20/100 = 1 - 0,2 = 0,8.
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Então, no exemplo acima, para calcular o desconto de 15% sobre o custo do produto que era de 80 reais, basta fazer o seguinte:

    fator de multiplicação: 1 - 15/100 = 1 - 0,15 = 0,85

    Cálculo do preço final: 80 . 0,85 = 68

    Assim, o produto sairia por 68 reais (obteve um desconto de 12 reais, que são exatamente os 15% informados).

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sexta-feira, 17 de outubro de 2014

Dízimas - Um pouco mais sobre elas

Como transformar em fração? 



Antes é preciso deixar claro que as dízimas que trataremos aqui são as representações decimais de números racionais. Portanto não trabalharemos com as dízimas infinitas e não-periódicas (pois trata-se de números irracionais, e veremos oportunamente sobre eles).


Toda fração tem uma representação decimal e essas podem ser infinitas ou finitas. As que tem fim, já foram abordadas aqui.


As Dízimas Infinitas


Quando um número decimal tem infinitas casas depois da vírgula e tais números apresentam um padrão (sempre se repetem a partir de determinada casa decimal), dizemos que tal dízima é infinita e periódica - pois apresenta números que se repetem indefinidamente nas casas decimais (o período).


Se houver números entre a vírgula e o período, os chamamos de parte não-periódica (ou antiperíodo) da dízima. E essa será uma dízima periódica composta.


Escrevemos a dízima até o seu período e colocamos uma barra horizontal em cima deste, indicando que esta será a parte que se repetirá infinitamente.


Por exemplo:


 Transformando em frações


No caso da dízima periódica simples, colocamos o período no numerador e o denominador terá tantos números 9 quantos dígitos houver no período. Assim:
   

Repare que na terceira dízima da figura acima  há uma parte inteira e três dígitos no período. Pode-se desmembrar o número numa soma da parte inteira com a dízima:





E então aplicar o que foi citado acima, isto é, colocar os algarismos do período no numerador e no denominador vai a quantidade de três números 9 (pois é a quantidade de algarismos do período). Daí basta efetuar a soma:

    1 + 123/999 = 1122/999



Para as dízimas periódicas compostas o raciocínio é bem parecido.
Vamos continuar colocando um número 9 no denominador para cada dígito do período, contudo, para cada algarismo do antiperíodo acrescentaremos - também no denominador - um número zero.
Para o numerador, temos de fazer a seguinte conta:




    (parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo)

________________________

Exemplo:
                                                              


        Note que há uma parte inteira diferente de zero, uma parte não-periódica (antiperíodo) e o período, conforme a seguir:

            parte inteira: 1
            antiperíodo: 3
            período: 721

     Podemos, então, montar os números para fazer a conta do numerador.

        Parte Inteira com Antiperíodo e Período: 13721
        Parte Inteira com Antiperíodo: 13

        Numerador: 13721 - 13 = 13708

    Para o denominador, serão três números 9 acompanhados de um zero (pois há um algarismo no antiperíodo):


        Denominador: 9990

    Logo, a fração que gera a dízima dada (fração geratriz) é:

    13708 9990


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Especial - Trabalhando com Decimais

Fazendo Contas


Como fazer uma divisão com números decimais? E as outras operações?

Isso gera dúvida em muita, mas muita gente mesmo, e este tópico servirá para acabar com essas confusões.

 

Direto ao Ponto

 

Somando e Subtraindo
Para essas operações, basta colocar as parcelas envolvidas uma embaixo da outra, respeitando a vírgula (também colada uma embaixo da outra). Procede-se então efetuando as contas da direita para a esquerda, termo a termo:



Nos exemplos acima, temos as seguintes operações: 17,2 - 5,146    e    9  -  0,987


Observe que após igualar as casas decimais completando com zeros, ficam algumas contas onde temos de subtrair um número maior de um menor. Para isso, "toma-se emprestado" uma dezena da próxima casa com um valor não-nulo.







Vamos agora ver um exemplo de multiplicação com decimais. É bem parecido com uma multiplicação com números inteiros, com a diferença da colocação da vírgula. Faremos a conta de 12,34 . 7,5:


Já para a divisão, os passos são simples:

  1. Iguala-se o número de casas decimais acrescentando zeros
  2. Retira-se as vírgulas
  3. Efetua-se a divisão
  4. Se houver resto, acrescente a ele um zero, coloque uma vírgula no quociente e efetue a divisão
  5. Para prosseguir encontrando mais casas decimais do quociente, acrescente novamente um zero ao novo resto - se houver - e efetue a divisão (dessa vez não acrescente vírgula ao quociente, pois já foi inserida no passo anterior)
    Vamos dividir 12,3 por 2,212. Acompanhe:



Utilizando Frações Decimais

As frações com denominadores que sejam múltiplos de 10 são as Frações Decimais. Para transformar um número decimal numa fração decimal, basta multiplicá-lo por 10, 100, 1000, etc e colocá-os na fração com o número múltiplo de 10 no denominador.


Ao multiplicar por um múltiplo de 10, desloca-se a vírgula para a direita numa quantidade de casas iguais à quantidade de zeros que possua o múltiplo que utilizou para fazer a multiplicação. 

Se for dividir, a vírgula será deslocada para a esquerda.

    Por exemplo, o número 3,34 tem duas casas decimais. Para transformá-lo numa fração decimal, multiplique-o por 100 (múltiplo de 10 que tem tantos zeros quantas casas decimais há no número 3,34) e coloque-o numa fração com denominador 100. Então, 


    3,34 = 334/100



Agora veremos métodos práticos para resolver as operações com decimais que vimos até agora, fazendo uso das frações decimais para isso.



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terça-feira, 14 de outubro de 2014

Potenciação e Radiciação - II

E as raízes?

A radiciação é muitas vezes definida como a operação inversa da potenciação. Isso porque ela representa um número que, elevado a um determinado índice, retorna o valor do qual estamos procurando a raiz. 


Mas como assim?


Por exemplo, se quisermos saber a raiz cúbica de 27, precisamos encontrar o número que, elevado ao cubo, dê como resultado o número 27. E esse número será a raiz cúbica procurada. 


Elementos da radiciação


Calcular a raiz enésima de um número significa encontrar o valor que, elevado ao índice n retorna o número dado. 



_____________________



    No exemplo acima, 27 é o radicando, e é dele que queremos "extrair" a raiz. Como o exemplo pedia a raiz cúbica, precisamos encontrar o número que elevado à terceira potência (que é o índice) retorna 27 como resultado. 


    Assim, 

               3 . 3 . 3 = 27 

    Portanto, o número 3 é a raiz cúbica de 27.
_____________________


Quando tratamos de uma raiz com índice n = 2, a chamamos de raiz quadrada, e é usual omitir o índice no símbolo do radical.






Em relação ao índice da raiz, sempre que ele for par, o resultado da raiz deverá ser positivo. Isso porque o número resultante será elevado a uma potência par, e já vimos que toda potência par resulta em um valor positivo.



Se o índice for ímpar, então a raiz será positiva se o radicando por positivo, e será negativa se o radicando for negativo. Os motivos são os mesmos já citados no parágrafo anterior.




Daí podemos concluir que não existe raiz quadrada e, tampouco quaisquer outras raízes cujo índice seja par, de números negativos.




Relacionando a Radiciação com a Potenciação

Dissemos, no início deste tópico, que a radiciação é o inverso da potenciação. Mas como isso é representado? Bem, uma raiz representa uma potência de expoente fracionário.


    Por exemplo, a raiz quadrada de 4 também pode ser expressa como a potência de 4 elevado a 1/2.       Assim:




De um modo geral,



Podemos ainda, com base nas propriedades das potências, utilizar as seguintes propriedades da radiciação:


  1. Multiplicar (ou dividir) o índice e o expoente do radicando por um mesmo número não-nulo
  2. A raiz de uma potência é o mesmo que a potência da raiz
  3. Multiplicar (ou dividir) radicais de um mesmo índice é o mesmo que multiplicar (ou dividir) seus radicandos em um único radical







Portanto, se ao dividirmos radicais de mesmo índice podemos efetuar a divisão toda dentro de um único radical, então isso quer dizer que a raiz de uma fração obtém-se efetuando a raiz do numerador e a do denominador.




Com as propriedades vistas, podemos simplificar os radicais através de fatoração. Para isso, basta decompor o radicando em fatores primos e reescrevê-lo assim decomposto. Então, simplifica-se as potências que são iguais aos índices e apenas o que não deu para ser simplificado permanecerá dentro da raiz.




    Por exemplo, vejamos o cálculo da raiz quadrada do número 24:






    Note que ao decompormos o número 24 em um produto de fatores primos, aparece no radicando uma potência com expoente 3. Nós a reescrevemos, também fatorada e aparece então a potência quadrada, a qual é simplificada com o índice da raiz e é "extraída" de dentro do radical.


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sexta-feira, 10 de outubro de 2014

Potenciação e Radiciação - I

O que é Potência?

Certamente você se lembra das tabuadas e do conceito de multiplicação ali embutido (a soma de parcelas repetidas). Quando, ao invés de somar, você multiplica repetidamente o mesmo número, está criando aí uma potência deste número.


Ah, então a potenciação (ou exponenciação) pode ser vista como uma multiplicação de parcelas repetidas? 



Sim, pode - quando esse número de parcelas é inteiro. O número de vezes que se repete a parcela nesta multiplicação é chamado de expoente. E o fator que está sendo multiplicado é dito base.






Portanto, uma operação de potenciação é elevar uma base a um determinado expoente, ou seja, multiplicar essa base por ela mesma tantas vezes quantas indicar o número do expoente




    Veja:

            24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16 (leia: dois elevado à quarta potência é igual a 16)


No exemplo acima, o 2 é a base, e o 4 é o expoente. Ou seja, o 2 será multiplicado repetidamente por ele mesmo 4 vezes.



Quando a base é elevada aos expoentes 2 ou 3, diz-se que este número está elevado ao quadrado ou ao cubo, respectivamente. Assim:


42 (quatro elevado ao quadrado - ou à segunda potência)
                        73 (sete elevado ao cubo - ou à terceira potência)



-------------------------------------------
Generalizando,


    ab = a . a . a . ... . a (multiplicação de b fatores iguais ao número a).

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Expoente Inteiro (Z)

A explanação acima já resumiu o que é uma potenciação de base real e expoente inteiro nos casos onde o expoente é positivo e maior do que zero. Vamos ver algumas particularidades.
  • Uma fração, quando elevada a um expoente, tem numerador e denominador  elevados a esse expoente - contanto que o denominador seja diferente de zero. Mais precisamente, 

          (a/b)2 = a2/b2     (sendo b diferente de zero)

         Os decimais também obedecem a essa definição:

           2,013 = 2,01 . 2,01 . 2,01 = 8,120601

  • Quando uma multiplicação está elevada a um dado expoente, temos de elevar cada fator da multiplicação a esse expoente. Assim:

         (ab)c = ac . bc
 
  • Todo número elevado ao expoente 1 retorna ele mesmo como resultado, e todo aquele elevado à potência zero retorna 1 como resultado.
        a1 = a

        a0 = 1


    Multiplicando

    Quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes e conservamos a base.       
    Assim:
            23 . 22 = (2 . 2 . 2) . (2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25

    Em geral,

    Se a, b e c diferentes de zero (b e c inteiros), então ab . ac = ab+c

    Dividindo
    Já quando dividimos potências de mesma base, nós devemos subtrair os expoentes. Acompanhe:




    Generalizando,  ab : a, com  a  não-nulo, é igual a ab - c

_________________________

Podemos, então, explicar melhor o por quê de a0 = 1: 

    Admita a diferente de zero.
    Observe que se b = c, então a0 = ab - c = ab - b
    Mas, acabamos de ver que a- b = a: ab   e, como todo número que é dividido por ele mesmo, o resultado será 1. Portanto, 

        a0 = 1
_________________________



  • Se o expoente for negativo, com a base não-nula, então:
          a-n = 1/an

    Veja o por quê:

        Vimos que a0 = 1 e que am : an = am - n 
        Se m = 0, então am - n = a-n

        Mas, 
            a- n = a: an = am/an

        Ainda, am = a0 = 1
        Portanto, como 1/an  = a- n  = a-n  , temos que  a-n  = 1/an 
   



Observe que a é não-nulo, pois se fosse invalidaria esta igualdade, já que não existe divisão por zero.



  • Elevando uma potência a um dado número, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. É a chamada potência de potência.
                (ab)c = abc    ,  com a não-nulo

(ab)c NÃO é o mesmo que abc
Isso porque no primeiro caso estamos elevando o ab à potência c. No segundo, estamos elevando o expoente b à potência c


    Veja:

        (22)3 = 26 = 64

        223 = 28 = 256 (pois elevamos o expoente 2 ao cubo antes de efetuar a potenciação do número 2)

     Portanto, (22)3 é diferente de 223

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Algumas observações a respeito da potenciação


  • Todo número elevado a um expoente par resultará num valor positivo.
              Isso devido à regra dos sinais (reveja aqui).
              Note que um expoente par implica numa multiplicação de uma quantidade par de fatores de um determinado número. Por exemplo:

                     (-3)4 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = 81

              Podemos agrupar os fatores de 2 em 2, e assim fazer a regra de sinais (negativo multiplicando negativo resulta num número positivo). Ou seja,

                     (-3)4 = [(-3) . (-3) ] . [(-3) . (-3)] = (+9) . (+9) = +81

    Em geral, dados a, b não-nulos, se a é negativo, então:

            ab = +c (um número c positivo) caso b seja par.
            ab = -c  (um número c negativo) caso b seja ímpar.

Note ainda que (-2)2 é diferente de -2, pois no primeiro caso o sinal (lembra do -1 multiplicando o número quando o sinal de menos aparece antes dele?) também é elevado à potência 2. No outro caso, o sinal não entra na resolução da potência, pois apenas o 2 está elevado ao quadrado.

Assim, (-2)2 = (-2) . (-2) = 4 , e  -22 = -(22) = -(2 . 2) = -(4) = -4.


No próximo tópico abordaremos as potências racionais e as raízes.
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sábado, 4 de outubro de 2014

Regra de Três Composta e Exercícios

Mais que Duas Grandezas



Trabalharemos agora as situações-problema que envolvem mais do que duas grandezas relacionadas entre si. O raciocínio é parecido com a regra de três simples. Temos, primeiramente, que identificar se as razões envolvidas são direta ou inversamente proporcionais à razão que contém a incógnita.


Para isso, é necessário extrair do problema as informações para montar a tabela das grandezas envolvidas e seus respectivos valores.

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Vejamos o exemplo a seguir.

    Numa obra 5 pedreiros precisam de 3 dias para construir um muro de 6 metros de comprimento. 
    Em quantos dias 3 pedreiros construiriam um muro de 8 metros de comprimento?

    Vamos identificar as grandezas e seus respectivos valores.


    Na primeira linha da tabela estão os valores que já temos para cada grandeza: 5 pedreiros que levaram 3 dias para construir o muro de 6 metros. Na linha debaixo, também informamos o que já sabemos, contudo há um valor que não foi dado: 3 pedreiros levariam quantos dias para construir um muro de 8 metros de comprimento? 


Como estamos lidando com mais de duas grandezas, devemos montar a proporção igualando a razão que tem a incógnita ao produto das outras razões, desde que já identificadas se são direta ou inversamente proporcionais àquela que tem a incógnita.


    Vamos então comparar as grandezas das razões que temos os valores com a razão que possui a incógnita. Observe que quanto maior for o número de pedreiros trabalhando, em menos dias eles concluirão a obra. Assim, a quantidade de pedreiros é inversamente proporcional à de dias necessários para realizar o trabalho. A razão das quantidades de pedreiros será invertida.

    Já ao compararmos o tamanho do muro, vemos claramente que quanto maior ele for, mais dias serão necessários para ficar pronto. Assim, o tamanho do muro e o prazo em dias são grandezas diretamente proporcionais. Então a razão entre os tamanhos do muro se manterá inalterada.

    Podemos, agora, montar a proporção:


    Logo, podemos resolver a equação gerada pela proporção acima.

    3/x = 3/5 . 6/8
    3/x = 18/40  observe que podemos simplifcar 18/40 pelo fator comum 2
    3/x = 9/20
    Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos

    9x = 3 . 20
    9x = 60
    x = 60/9
    x = 20/3
    x = 6,6666...

    Serão necessários mais do que 6 dias. Podemos arredondar a resposta para 7 dias, pois apenas 6 não serão suficientes para que os pedreiros concluam a obra. Portanto, para que os 3 pedreiros construam o muro de 8 metros de comprimento serão necessários 7 dias.
  

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Vamos praticar um pouco?

1. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

2. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

3. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?

4. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?

5. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

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