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quinta-feira, 25 de setembro de 2014

Divisores, Múltiplos, MMC, MDC e os Primos - II


MDC e MMC


Continuando o nosso tema, vamos agora tratar 

dos casos de múltiplos e divisores comuns a dois ou mais números. 



Eles são úteis como ferramenta de auxílio em diversos cálculos e também na resolução direta de algumas situações, como por exemplo:






"Maria participou de uma competição de ciclismo junto com seu amigo Bruno, e largaram ao mesmo tempo. Ela completou uma volta em 50 segundos, e seu amigo em 30. Depois de quantas voltas eles estarão novamente juntos no ponto de partida?"



Reveja como encontrar múltiplos e divisores

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    Tomemos os números 30 e 50. Seus divisores são:


    D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

    D(50) = {1, 2, 3, 5, 10, 25, 50}


    E os primeiros múltiplos:



    M(30) =  {30, 60, 90, 120, 150, 180, ...}

    M(50) = {50, 100, 150, 200, 250, ...}


    Observe que o maior divisor que eles têm em comum é o 10, enquanto que o menor múltiplo comum a eles é o 150. Isso quer dizer que o MDC (Maior - ou Máximo - Divisor Comum) entre 30 e 50 é 10, e o MMC (Mínimo - ou Menor - Múltiplo Comum) entre 30 e 50 é o 150. 



    Representamos assim:



    MDC(30,50) = 10

    MMC(30,50) = 150


    Então, na situação exposta anteriormente, Maria e seu amigo se reencontrarão 150 segundos (ou 2 minutos e 30 segundos) depois da largada, no mesmo ponto. E nesse tempo, ela percorreu 3 voltas (150 : 50 = 3) e o Bruno 5 voltas (150 : 30 = 5).

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Pode ser muito trabalhoso descrever os conjuntos de divisores e múltiplos dos números toda vez que precisar determinar seus MDC e MMC. Existem meios mais práticos para isso e vamos falar sobre alguns a seguir.


Cálculo do MDC

Divisões Sucessivas

  1. Divida o maior número pelo menor
  2. Tome o divisor da última conta e faça o quociente dele pelo resto dessa última conta
  3. Repita, sempre pegando o último divisor e fazendo o quociente pelo último resto, até obter uma divisão exata.
  4. O divisor da divisão exata é o MDC procurado.
Acompanhe:


Decompondo em Fatores Primos


  1. Fatore o primeiro número em fatores primos
  2. Faça o mesmo com o segundo número
  3. Multiplique os fatores primos em comum
  4. Pronto. O MDC é o produto encontrado.
Veja:



Dados 2 ou mais números, se um deles for divisor de todos os outros, então ele será o MDC destes números.


Primos entre si


Dois números são ditos Primos Entre Si caso o MDC entre eles seja 1.

    Um exemplo são os números 14 e 25. O único divisor em comum é o 1, ou seja, MDC(14,25) = 1.

Se dois números são primos entre si, o MMC entre eles será o produto destes dois números.

Cálculo do MMC


O modo direto de determinar o MMC entre dois ou mais números é através da decomposição em fatores primos.


  1. Coloque lado a lado, separados por vírgulas, os números envolvidos no cálculo do MMC
  2. Trace uma barra vertical à direita do último número - conforme visto na primeira parte deste tópico
  3. Determine o menor primo possível pelo qual ao menos um dos números possa ser dividido e anote este número primo no lado direito da barra
  4. No lado esquerdo anote o resultado da divisão de cada número pelo primo que foi determinado no passo anterior. Caso a divisão exata não seja possível, ao invés do resultado, apenas copie novamente o número que não foi possível efetuar o quociente
  5. Repita os passos de 2 a 4 até chegar no quociente 1 para todos os números
  6. O produto entre todos os fatores primos anotados no lado direito da barra será o MMC procurado.
Veja




Dados dois ou mais números, se um deles for múltiplo de todos os outros, então ele será o MMC dos números dados.


Estão lembrados das somas e subtrações de frações? (se não, reveja aqui)



Tínhamos a seguinte definição:

    Dados os números inteiros a, b, c, d - sendo b e d diferentes de zero - a soma a/b + c/d dá-se do seguinte modo:


    a/b + c/d = (ad + bc)/bd



    Caso b e d não sejam primos entre si, a fração obtida como soma será uma fração redutível e deverá ser simplificada para apresentarmos o resultado final da operação.



    Um modo de evitar isso, é encontrar o MMC(b, d) e utilizá-lo como denominador da soma, no lugar de bd.

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quarta-feira, 24 de setembro de 2014

Divisores, Múltiplos, MMC, MDC e os Primos - I

Quanta Coisa!

Ao termos visto os métodos e conceitos da Multiplicação e Divisão, criamos uma boa base intuitiva para tratarmos dos múltiplos e divisores. 

Os Múltiplos

Quando falamos da multiplicação como uma soma de parcelas repetidas, estávamos implicitamente vendo esses conceitos. 



Tome, por exemplo, o número 7. Somando-o repetidamente, temos 7 + 7 + 7 + 7 + ..... indefinidamente. 



Isso nos dá aquilo que muitos conhecem por Tabuada - e neste caso, tabuada do 7. Assim:


    7 . 1 = 7
    7 . 2 = 14 (7 + 7)
    7 . 3 = 21 (7 + 7 + 7)
    ...

Os produtos assim obtidos dos números naturais são ditos Múltiplos Naturais de um Número. Nesse exemplo, alguns múltiplos naturais do 7 são: 7, 14, 21, 28, 35, ... Note que um número tem infinitos múltiplos.

Os Divisores

Dizemos que um número é divisível por outro, caso a divisão seja exata - quando ocorre a divisão da quantidade em partes iguais, sem sobrar nada. Isto é, apresentando resto zero e um número natural como quociente.


Observe que os múltiplos de um número natural sempre serão divisíveis por ele. Isso também pode ser dito da seguinte maneira: um número divide outro (é o mesmo que dizer que ele é divisor do outro). 

Nos exemplos da tabuada acima, o 7 divide seus múltiplos - ou, ele é divisor de seus múltiplos - pois ao efetuar o quociente, por exemplo, de 14 : 7 temos um resultado com resto zero (divisão exata).

Números Primos e Compostos


Se um número apresenta apenas 2 divisores, sendo eles o número 1 e ele próprio, o chamamos de número primo
Já falamos um pouco sobre os primos. Leia aqui.


Se apresentar mais do que esses 2 divisores, então ele é um número composto.


Para encontrar a composição de um número, temos de encontrar os seus divisores e, pelo que acabamos de aprender, os divisores de um número são aqueles que, ao efetuarmos o quociente do número por ele, teremos um natural como resultado e resto zero. 


Por exemplo:



    O número 2 é um divisor do 14, pois 14 : 2 = 7 e tem resto zero.

    Os divisores do 14 são: 14, 7, 2, 1

Podemos decompor os números compostos em um produto de seus divisores. Veja:



   30 = 5 . 6

   28 = 4 . 7
   16 = 2 . 8


Quando decompomos um número em um produto de números primos, chamamos a isso de Fatoração:


    30 = 2 . 3 . 5
    28 = 2 . 2 . 7
    16 = 2 . 2 . 2 . 2
   Abaixo estão os meios usuais de fatorar um número e de encontrar seus divisores

Para Fatorar

  1. Divida o número pelo menor primo possível
  2. Agora faça o mesmo com o quociente obtido
  3. Repita até chegar no quociente 1
  4. Pronto! Todos os números primos que utilizou como divisores são a fatoração do número dado.
    Acompanhe a prática: Fatore o número 52



Ao multiplicar os números primos obtidos do lado direito da barra vertical, você chegará novamente ao número inicial dado. Assim: 2 . 2 . 13 = 52

Para encontrar os Divisores

Agora que temos a fatoração do número em fatores primos, podemos encontrar seus divisores.


        Criem um novo dispositivo parecido com o que foi feito acima, mas com os números primos que

        foram obtidos agora ao lado esquerdo da barra. No lado direito, coloque primeiramente o 
        número 1, que é um divisor comum a todos os números. Desse modo:




Encontramos, então, todos os divisores do número 52, que são: 1, 2, 4, 13, 26 e 52.

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domingo, 21 de setembro de 2014

Equações

Uns Mais Iguais Que os Outros

É impossível prosseguir os estudos em Matemática sem se deparar com elas. Estão por toda parte e são ferramentas importantes na resolução de problemas das mais diversas complexidades e finalidades.
Vimos, dias atrás, as expressões numéricas. Agora também veremos expressões, mas as algébricas! A diferença para a primeira é que esta não contém apenas números, pode conter letras. A princípio, uma letra.


Uma equação pode ser definida como uma igualdade entre duas coisas. Trata-se de uma expressão algébrica que contém ao menos uma incógnita (valor não conhecido, o qual busca-se desvendar com a resolução) que é igualada a uma outra expressão ou valor. Resolver a equação, significa encontrar o valor numérico que está "escondido" na incógnita e que satisfaça a expressão da igualdade inicial.
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Por exemplo: 

Joãozinho comprou 2 almofadas e gastou 14 reais. Sabendo que as almofadas são iguais e o preço delas é o mesmo, quanto custa cada uma?


    A expressão por trás desta situação é a seguinte: 2x = 14

    Onde x é a incógnita (poderia ser qualquer outra letra. O x é usual, mas não impede que você use uma letra diferente), isto é, é o valor desconhecido que precisamos descobrir. Ele representa, neste caso, o custo de uma almofada (note que x + x = 2x, pois ele comprou 2 almofadas), que é exatamente o que o exercício está pedindo.
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Mas como eu posso resolver uma equação?

Vamos utilizar o que já conhecemos para isso. As operações básicas e as propriedades dos números reais.

Como se trata de uma igualdade (sempre se lembre disso: TODA equação É uma igualdade!), temos de partir do princípio de que a igualdade deve ser mantida - devemos manter o equilíbrio da expressão. Para que isso aconteça, conforme formos mexendo em cada lado da expressão algébrica que forma a equação (o lado esquerdo da igualdade é dito Primeiro Membro da Equação, e o lado direito é o Segundo Membro), devemos mexer também "do outro lado" dela, afim de mantermos a igualdade inalterada.

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Suponha que você tem um álbum de figurinhas com 50 delas já coladas. Quantas ainda faltam para completar o álbum, sabendo que o total é de 75 figurinhas?


    Vamos chamar essa quantidade de figurinhas que faltam de x (pois ainda não sabemos quantas são).

    Se já possui 50, precisará somar as que faltam - que é x - para chegar ao total de 75. E isso é representado assim:  50 + x = 75
   
    Eis aí a nossa equação!
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    E agora?
 
    Bem, precisamos efetuar algumas operações afim de descobrir o valor do x.
    Para isso, precisamos isolá-lo na equação, isto é, manter o x de um lado do sinal de igualdade e todo o restante deverá estar do outro lado. Mas como fazer?

    Vejamos quais operações serão necessárias:
    No primeiro membro, além do x temos o número 50 (positivo). Para que ele desapareça dali, é preciso que o transformemos no número zero, pois aí teríamos 0 + x (o que é a mesma coisa que ter somente o x). Para chegar no zero precisamos então subtrair 50, e teríamos 50 - 50 + x. Mas, lembre-se sempre que estamos tratando de uma igualdade, e para que ela não perca o sentido, para que não seja alterada, tudo o que fizermos em um membro da equação, teremos de fazer também no outro membro. Ou seja, se vamos subtrair 50 em um lado da igualdade, do outro lado também teremos de subtrair 50 e, deste modo, ela será preservada.


    Acompanhe:

          50 + x = 75
          50 + (-50) + x = 75 + (-50)    Note que acrescentamos, em cada lado, o -50
          
          Eliminando os parênteses (lembre das regras de sinais):
          50 - 50 + x = 75 - 50


          Agora, resolvendo de cada lado da igualdade:

          0 + x = 25


          Mas, como o zero não altera em nada, temos:

          x = 25


         Pronto! Descobrimos o valor do x, e isso quer dizer que resolvemos essa equação. O x vale 25, ou seja, faltam 25 figurinhas para completar o álbum.


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O resultado de uma equação é chamado de Raiz da equação, ou Conjunto Verdade (V). As possíveis soluções são chamadas de Conjunto Universo (U). No caso anterior, U era o conjunto dos Inteiros (Z) e o conjunto verdade era V = {25}


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Lembram do primeiro exemplo? O do Joãozinho?

A equação desse caso era: 2x = 14
Como fazer para descobrir o valor da incógnita e assim resolver essa equação?

     É sempre a mesma idéia: manter o x isolado em um membro da equação, e o restante deverá estar do outro lado. Neste caso, o x está sendo multiplicado pelo 2. É hora de lembrar de uma propriedade dos números reais - aquela que fala sobre o inverso. 
    Multiplicando um número pelo seu inverso obtém-se o 1. Logo, vamos multiplicar os dois lados da igualdade pelo inverso do 2, que é o 1/2:
    
        2x . 1/2 = 14 . 1/2
        Resolvendo ambos os lados, 
     
        x = 14/2 
        x = 7


       Portanto, cada almofada que o Joãozinho comprou custou 7 reais.




No caso de haver uma expressão maior em qualquer um dos membros, devemos resolvê-la para então prosseguir com as operações que irão isolar a incógnita em um dos lados da igualdade.




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Vamos exercitar um pouco


1. Resolva as equações:

a) x + 4 = 1
b) -3x + 2(x - 3/4) = 1/4
c) x + 21 = -3(x - 2/3 + 2) - 1

2. Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

3. A soma da minha idade com a idade de meu irmão dá 37 anos. Sabendo que sou 7 anos mais novo que meu irmão, qual é a minha idade?
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sábado, 20 de setembro de 2014

Propriedades dos Números Reais

Quase sempre em R

Agora que conhecemos os principais conjuntos numéricos, vamos ver suas propriedades para que possamos trabalhar bem com eles. Percebam que, a partir daqui, é certo que a maior parte dos temas girará em torno dos números Reais.

Propriedades

Considere a, b e c números reais.
Em relação à soma e multiplicação, tem-se as seguintes propriedades:


    1. Comutativa


        Para quaisquer valores, a + b sempre será a mesma coisa que b + a.
       O mesmo ocorre para a . b e b . a

       Não importa a ordem, os resultados serão os mesmos. Veja:
           2 + 3 = 5   e   3 + 2 = 5
           2 . 4 = 8    e   4 .  2 = 8

    2. Associativa

        Para quaisquer valores, (a + b) + c é o mesmo que a + (b + c)
        Na multiplicação, a.(b . c) = (a . b).c

        Por exemplo:    (3 + 6) + 2 = 11   e   3 + (6 + 2) = 11
                                2(1 . 4) = 8   e   (2 . 1)4 = 8

    3. Elemento Neutro

        É o número que não altera o valor inicial de um outro número ou expressão.
        Na soma, o zero é o elemento neutro, pois a + 0 = a para quaisquer valores que a possa assumir.
        Na multiplicação, o 1 é o elemento neutro, pois a . 1 = a também para quaisquer valores de a.

        Exemplos:    7 + 0 = 7   e   7 . 1 = 7
            
    4. Oposto e Inverso

        Trata-se do número real que leva uma operação de soma ao zero ou uma multiplicação ao 1.
        Na soma, o elemento oposto de um número a é indicado por -a, pois a + (-a) = 0
      Na multiplicação, o inverso de um número a é indicado por 1/a (desde que a seja diferente de zero), pois a . 1/a = 1

        Exemplos: 43 + (-43) = 43 - 43 = 0
                        43 . 1/43 = 43/43 = 1

    5. Distributiva

        Quando um número real multiplica uma soma de números ao mesmo tempo.
        Para quaisquer que sejam os números a, b e c, temos:

                    a . (b + c) = a . b + a . c   ou   (b + c).a = b . a + c . a
  
        Exemplo:  12(2 + 3) = 12.2 + 12.3 = 24 + 36 = 60

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quinta-feira, 18 de setembro de 2014

Os Reais e as Dízimas

Faltam os Irracionais!


Vamos agora dar uma complementada nos conjuntos numéricos que já vimos.
Experimente construir um quadrado cujos lados meçam 1. O valor da diagonal desse quadrado será um número irracional - poderemos ver isso mais adiante quando tratarmos do Teorema de Pitágoras.
Ou ainda, meça o comprimento de uma circunferência e divida esse valor pelo seu diâmetro. Esse resultado também será um número irracional, o pi.

Esses números, chamados Irracionais - I, não podem ser representados na forma de uma fração com numerador e denominador inteiros. Em outras palavras, não podem ser expressos como um racional, ou seja, da forma a/b com a e b inteiros sendo b diferente de zero.

Os Irracionais, juntamente com os demais conjuntos numéricos que já vimos, formam o conjunto dos números Reais - R.
Assim como nos outros conjuntos, os Irracionais possuem infinitos elementos.

Exemplos de Irracionais


Raiz quadrada de 2


Raiz quadrada de 3


As raízes quadradas de números primos são sempre números irracionais.

Dízimas



Tratemos agora de alguns aspectos das representações decimais dos números Reais.

Quando você se depara com um número que possui infinitas casas decimais, dizemos que tal número é uma Dízima Infinita.

Se essas casas decimais mantiverem um padrão - ou período (grupo de números que se repetem infinitamente nas casas decimais - vamos indicálo por uma barra logo acima dele) - diz-se que a dízima é infinita e periódica.
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Veja alguns exemplos:
           
    3,43  -  é uma dízima infinita e periódica, tendo como perído o número 43 (isso é indicado pela barra logo acima do número), e indica o número 3,434343434343....
                    
    2,34957  -  é uma dízima infinita e periódica, tendo como período o número 957, e indica o número 2,34957957957957....

    2,12342135697855212213369873....  -  é uma dízima infinita e não periódica (não apresenta período).

    2,12314  -  é uma dízima finita.

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                 As dízimas finitas são as representações decimais dos números racionais.
                Podem ser descritas como tal (a/b, com a e b inteiros sendo b diferente de zero).


                As dízimas infinitas periódicas também representam um número racional. 
                Por exemplo, 1/3 = 0,33333...

                As dízimas infinitas e não periódicas são a representação decimal dos números
                irracionais. 
                Não dá para descrevê-las como um quociente de dois números inteiros.
                 ==========================================================

As Dízimas Infinitas Periódicas e as Finitas



Tais dízimas referem-se, como vimos, a números racionais. Portanto existe uma representação em forma de quociente de dois inteiros para cada um desses números decimais.


Para encontrar a representação decimal de uma fração, basta efetuar o quociente  
            numerador : denominador.


Já o inverso, para encontrar o racional representado por um determinado número decimal, precisamos lançar mão de alguns métodos não tão diretos que são abordados aqui.

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quarta-feira, 17 de setembro de 2014

Resumindo e Exercitando

Direto ao ponto

Vamos ver agora um resumo bem objetivo do que foi explanado até o momento

Números Naturais 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Números Inteiros
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Números Racionais
Q = {a/b, a e b inteiros, com b diferente de zero}
Efetuando o quociente a/b encontra-se o seu representante decimal.

Operações Básicas
  • Adição
          2 + 3 = 5
        +7 + 4 = 11
        a/b + c/d = (ad + bc)/bd (se b e d forem diferentes de zero)

  • Subtração

        3 - 1 = 2; - 7 + 2 = - 5
        a/b - c/d = (ad - bc)/bd (se b e d forem diferentes de zero)

     Veja mais

  • Multiplicação
        3 . 2 = 2 . 3 = 6
        a/b . c/d = ac/bd (se b e d forem diferentes de zero)
  • Divisão
        6 : 2 = 6/2 = 3
        a/b : c/d = a/b . d/c = ad/bc (se b, c e d forem diferentes de zero)

    Veja mais

Números Primos
Aqueles que possuem apenas dois divisores: ele próprio e o número 1.
Por exemplo:
     2 é primo, pois seus divisores são o próprio 2 (2 : 2 = 1) e o 1 (2 : 1 = 2)
     3 é primo, pois seus divisores são o próprio 3 (3 : 3 = 1) e o 1 (3 : 1 = 3)

Regras dos sinais

Adição e Subtração
  • Sinais Iguais: some e conserve o sinal
  • Sinais Diferentes: subtraia o menor do maior e conserve o sinal do maior
      Veja mais

        Exemplos: 
            
        2 + 3 = +5
      - 3 - 7 = -10
      - 4 + 2 = -2
    
Multiplicação e Divisão
  • Sinais Iguais: resultado positivo
  • Sinais Diferentes: resultado negativo
       Veja mais
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Obs.: 
         I) Um número que não tem sinal acompanhando é um número positivo;
     II) Um sinal de menos antes de parênteses, colchetes ou chaves indica uma multiplicação do conteúdo desses delimitadores pelo número -1, e isto quer dizer que todos os termos que estão dentro dos delimitadores terão seus sinais alterados (ao efetuar as regras de sinais ditas acima).
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    Por exemplo:
  •     2 . (-3) = -6
  •    (-4) . (-5) = +20 = 20
  •    4 . 2/(-3) = 4 . (-2)/3 = 4/1 . (-2)/3 = (4.(-2))/3 = -8/3
  •    - (3 + 4.(-2)) = - (3 - 8) = - (-5) = +5 
Módulo
O módulo representa uma distância, e por isso será sempre positivo.
Por exemplo:
  •     | 2 - 3 | = | - 1 | = 1 
  •     | - 10 | = 10


Expressões Numéricas
Respeitar a hierarquia para resolução, efetuando as contas na seguinte ordem:
  • Parênteses
  • Colchetes
  • Chaves
Ainda observando a hierarquia das operações dentro de cada um desses delimitadores, que é a seguinte:
  • potências e raizes
  • multiplicação e divisão
  • adição e subtração
      Veja mais

         Exemplo:
                    Resolver a seguinte expressão numérica: - 2 + 1/5 [ - 4 . 1/5 - (3/2 + 7 . (-2)) ]
                     -2 +1/5 [-4 . 1/5 - (3/2 -14)] = -2 + 1/5 [-4 . 1/5 -(-25/2)]
                    = -2 + 1/5 [-4/5 + 25/2] = -2 + 1/5 [117/10] = -2 + 1/5 . 117/10
                    = -2 + 117/50 = (-100 + 117)/50 = 17/50

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Exercícios 


Resolver as seguintes expressões numéricas:

    _______________________________

    a) 12 + [35 - (10 + 2) +2] =

    b) [(18 + 3 . 2) : 8 + 5 . 3] : 6 =

    c) 60 : {2 . [-7 + 18 : (-3 + 12)]} – [7 . (-3) – 18 : (-2) + 1] =

    d) 3 – {2 + (11 – 15) – [5 + (-3 + 1)] + 8} =

    e) {[(8 . 4 + 3) : 7 + (3 + 15 : 5) . 3] . 2 – (19 – 7) : 6} . 2 + 12 =

    f) 4/5 . (3 + 0,4) - 3,21 =

    g) 4/3 + 7/5 . (1/2 + 4/9) - 1/5 = 

    h) [4/5 . (7/3 - 1)] / (2/9 - 3) = 

    i) 3 . {-1 + 12 . [-13 + 4 . (1 - 1/3) - 1] - 1} = 

    j) (2/5 . 5/3) : 2/3 = 

    k) (4 - 4/5) : (9 + 1/3) = 
    _______________________________
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segunda-feira, 15 de setembro de 2014

Sobre Sinais, Operações e Módulo - II

Sinais - Não se esqueça deles Segunda Parte


Vamos continuar desmistificando o funcionamento das regras de sinais - agora com multiplicação e divisão. E, para isso, vou utilizar de um meio explicativo muito bacana que pode ser encontrado aqui.


Vamos lá!



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        Você resolve lavar roupa num tanque, onde a torneira o enche colocando a cada minuto 4 litros de água. Isto é, +4 L/min.



  •         Passados 10 minutos, temos 40 litros de água a mais no tanque:
        (+10 ).(+4) = +40 litros = 40 litros 
            (mais com mais: dá mais)


  •     No entanto, 2 minutos antes, tinha 8 litros a menos:
        (-2).(+4) = -8 litros 
            (menos com mais: dá menos)

        Agora você enche o tanque, mas verifica que ele tem um furo por onde vaza 2 litros de água por minuto, ou seja, -2 L/min.



  •         Em 4 minutos, o tanque terá 8 litros a menos de água:
        (+4).(-2) = -8 litros
            (mais com menos: dá menos)

  •       No entanto, 3 minutos antes havia 6 litros a mais de água:
        (-3).(-2) = +6 litros = 6 litros
            (menos com menos: dá mais)

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Pelo que vimos, então, pode-se resumir as regras de sinais na multiplicação ou divisão assim:

   ( + ) . ( + ) = ( + )       
   ( -  ) . (  - ) = ( + )           

   ( + ) . (  - ) = ( -  )
   ( -  ) . ( + ) = ( -  )

Isto é, se os sinais forem iguais, o resultado será positivo. Se forem sinais diferentes, o resultado será negativo.

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Ah, mas por que vale para a divisão também?
Observe bem:
                        (- 4) : (+2) = (- 4) / 2    Podemos representar essa fração como uma multiplicação de dois números, veja

                      (- 4) / 2 = (- 4) . 1/2    relembre as operações com frações

                      Agora temos uma multiplicação e podemos aplicar o que foi visto logo acima. Isto quer dizer que o produto

                     (- 4) . 1/2 

                     terá sinal negativo, pois ( - ) . ( + ) = ( - )
                    Assim, (- 4) : 2 = (- 4) . 1/2 = -2
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Portanto, as regras de sinais valem também para a divisão.
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sexta-feira, 12 de setembro de 2014

Sobre Sinais, Operações e Módulo - I

Sinais - Não se esqueça deles


Recebo muitas perguntas a respeito desse tema. Como trabalhar com os sinais?
Operar com números negativos, efetuar multiplicações e divisões com sinais opostos? Pois bem, com atenção durante as resoluções, você não terá maiores problemas ao lidar com eles. Vamos falar um pouco a respeito.
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Imagine-se em uma avenida. Você está num determinado local que não é o começo e nem o final dela.
Olhando para frente dá pra visualizar alguns quarteirões de distância, contudo não consegue ver o final da avenida. O mesmo ocorrendo ao olhar para trás.


Agora, vamos inserir um sistema de contagem aí nessa avenida. O ponto onde você está será chamado de início, ou de ponto zero. Enumere os quarteirões que conseguir enxergar à sua frente: o primeiro será o 1, o próximo será o 2, e assim por diante. Isso é possível pois está mantendo um padrão de medida (o tamanho de 1 quarteirão) e a ordem na numeração (pois todo conjunto numérico que já apresentamos aqui é um conjunto ordenado, isto é, é possível atribuir uma ordem a seus elementos).


Mas, e os quarteirões que estão atrás de mim?
Bem, você está no ponto zero. De acordo com a ordem dos números inteiros, o número imediatamente anterior ao zero é o -1. Significa que o primeiro quarteirão que está atrás de você é o de número -1. O quarteirão seguinte, também atrás de você, será o -2, e assim por diante.


Suponha que consiga ver 6 quarteirões à sua frente e 6 também na outra direção.

Se uma pessoa está no quarteirão 2, e quer chegar a uma determinada loja que fica no quarteirão 5, ela terá que caminhar por 3 quarteirões. Note que, conforme a pessoa anda no "lado positivo" da avenida de forma que os números dos quarteirões vão aumentando, diz-se que ela está indo, ou seja, temos de sinalizar o tanto percorrido com o sinal positivo. Portanto, a quantidade que foi percorrida é de 3 quarteirões (positivo) para se chegar ao de número cinco. Matematicamente:

    +  3  = 5  --- destino
     |       |___ quarteirões percorridos
  início


Obs.: Quando um número não vem acompanhado de sinal, assume-se que ele é positivo. Ou seja, 3 e +3 são a mesma coisa.

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Vejamos quando uma pessoa sai do quarteirão -1 para chegar ao de número -3. Observe que ela caminhou por 2 quarteirões do "lado negativo" da avenida até chegar ao quarteirão -3 (ela voltou 2 quarteirões). Isso é representado da seguinte maneira:


        -1 - 2 = -3



Note que ela estava em -1 e a partir daí caminhou por 2 quarteirões, mas ela percorreu esses quarteirões no sentido contrário ("voltou" 2 quarteirões). Então temos de sinalizá-lo como -2. Os números 1 e 2 foram somados e o sinal de menos foi mantido.

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E se o fulano estivesse no quarteirão 1 e quisesse ir até o -2?
Acompanhe:
    Ele voltaria 1 quarteirão até o ponto inicial (do lado positivo) e depois andaria por mais 2 quarteirões até o seu destino (do lado negativo). Ou seja, o fulano "voltaria" uma distância de 3 quarteirões até chegar ao de número -2. Isso é representado da seguinte maneira:

  1 - 3 = -2


Podemos tirar algumas conclusões depois dessas análises:
  • Quando somamos ou subtraímos
  1. Se os valores tiverem o mesmo sinal, efetue a soma e mantenha o sinal;
  2. Se os valores tiverem sinais diferentes, subtraia o menor do maior e mantenha o sinal do maior;
  3. Essa forma de raciocinar sobre números positivos e negativos exemplifica bem a definição de Módulo (ou valor absoluto), que nada mais é que uma distância. Veja:
            Imagine uma reta, no lugar da avenida. Simplesmente um traço contínuo e reto que não tem como se ver o início e nem o final. Marque um local como sendo ponto de partida, ou ponto zero. Escolha um tamanho para a medida de uma unidade (a distância que terá entre cada número e o número imediatamente seguinte). Enumere, a partir do zero, com números inteiros positivos à direita e com os negativos à esquerda do zero.


          Agora, a distância entre dois números quaisquer dessa reta é chamada de módulo. E como é uma distância, será sempre positiva. O módulo é representado por duas barras verticais |   |





Exemplos:

a) 2 - 7 = -5        b) -12 - 4 = -16        c) | 12 | = 12        d) | -3 | = 3

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Relembre
Naturais; Inteiros; Racionais; Expressões Numéricas