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quarta-feira, 24 de setembro de 2014

Divisores, Múltiplos, MMC, MDC e os Primos - I

Quanta Coisa!

Ao termos visto os métodos e conceitos da Multiplicação e Divisão, criamos uma boa base intuitiva para tratarmos dos múltiplos e divisores. 

Os Múltiplos

Quando falamos da multiplicação como uma soma de parcelas repetidas, estávamos implicitamente vendo esses conceitos. 



Tome, por exemplo, o número 7. Somando-o repetidamente, temos 7 + 7 + 7 + 7 + ..... indefinidamente. 



Isso nos dá aquilo que muitos conhecem por Tabuada - e neste caso, tabuada do 7. Assim:


    7 . 1 = 7
    7 . 2 = 14 (7 + 7)
    7 . 3 = 21 (7 + 7 + 7)
    ...

Os produtos assim obtidos dos números naturais são ditos Múltiplos Naturais de um Número. Nesse exemplo, alguns múltiplos naturais do 7 são: 7, 14, 21, 28, 35, ... Note que um número tem infinitos múltiplos.

Os Divisores

Dizemos que um número é divisível por outro, caso a divisão seja exata - quando ocorre a divisão da quantidade em partes iguais, sem sobrar nada. Isto é, apresentando resto zero e um número natural como quociente.


Observe que os múltiplos de um número natural sempre serão divisíveis por ele. Isso também pode ser dito da seguinte maneira: um número divide outro (é o mesmo que dizer que ele é divisor do outro). 

Nos exemplos da tabuada acima, o 7 divide seus múltiplos - ou, ele é divisor de seus múltiplos - pois ao efetuar o quociente, por exemplo, de 14 : 7 temos um resultado com resto zero (divisão exata).

Números Primos e Compostos


Se um número apresenta apenas 2 divisores, sendo eles o número 1 e ele próprio, o chamamos de número primo
Já falamos um pouco sobre os primos. Leia aqui.


Se apresentar mais do que esses 2 divisores, então ele é um número composto.


Para encontrar a composição de um número, temos de encontrar os seus divisores e, pelo que acabamos de aprender, os divisores de um número são aqueles que, ao efetuarmos o quociente do número por ele, teremos um natural como resultado e resto zero. 


Por exemplo:



    O número 2 é um divisor do 14, pois 14 : 2 = 7 e tem resto zero.

    Os divisores do 14 são: 14, 7, 2, 1

Podemos decompor os números compostos em um produto de seus divisores. Veja:



   30 = 5 . 6

   28 = 4 . 7
   16 = 2 . 8


Quando decompomos um número em um produto de números primos, chamamos a isso de Fatoração:


    30 = 2 . 3 . 5
    28 = 2 . 2 . 7
    16 = 2 . 2 . 2 . 2
   Abaixo estão os meios usuais de fatorar um número e de encontrar seus divisores

Para Fatorar

  1. Divida o número pelo menor primo possível
  2. Agora faça o mesmo com o quociente obtido
  3. Repita até chegar no quociente 1
  4. Pronto! Todos os números primos que utilizou como divisores são a fatoração do número dado.
    Acompanhe a prática: Fatore o número 52



Ao multiplicar os números primos obtidos do lado direito da barra vertical, você chegará novamente ao número inicial dado. Assim: 2 . 2 . 13 = 52

Para encontrar os Divisores

Agora que temos a fatoração do número em fatores primos, podemos encontrar seus divisores.


        Criem um novo dispositivo parecido com o que foi feito acima, mas com os números primos que

        foram obtidos agora ao lado esquerdo da barra. No lado direito, coloque primeiramente o 
        número 1, que é um divisor comum a todos os números. Desse modo:




Encontramos, então, todos os divisores do número 52, que são: 1, 2, 4, 13, 26 e 52.

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