Divisores, Múltiplos, MMC, MDC e os Primos - II

MDC e MMC

Continuando o nosso tema, vamos agora tratar 

dos casos de múltiplos e divisores comuns a dois ou mais números. 

Eles são úteis como ferramenta de auxílio em diversos cálculos e também na resolução direta de algumas situações, como por exemplo:

"Maria participou de uma competição de ciclismo junto com seu amigo Bruno, e largaram ao mesmo tempo. Ela completou uma volta em 50 segundos, e seu amigo em 30. Depois de quantas voltas eles estarão novamente juntos no ponto de partida?"

Reveja como encontrar múltiplos e divisores

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    Tomemos os números 30 e 50. Seus divisores são:

    D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

    D(50) = {1, 2, 3, 5, 10, 25, 50}

    E os primeiros múltiplos:

    M(30) =  {30, 60, 90, 120, 150, 180, ...}

    M(50) = {50, 100, 150, 200, 250, ...}

    Observe que o maior divisor que eles têm em comum é o 10, enquanto que o menor múltiplo comum a eles é o 150. Isso quer dizer que o MDC (Maior - ou Máximo - Divisor Comum) entre 30 e 50 é 10, e o MMC (Mínimo - ou Menor - Múltiplo Comum) entre 30 e 50 é o 150. 

    Representamos assim:

    MDC(30,50) = 10

    MMC(30,50) = 150

    Então, na situação exposta anteriormente, Maria e seu amigo se reencontrarão 150 segundos (ou 2 minutos e 30 segundos) depois da largada, no mesmo ponto. E nesse tempo, ela percorreu 3 voltas (150 : 50 = 3) e o Bruno 5 voltas (150 : 30 = 5).

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Pode ser muito trabalhoso descrever os conjuntos de divisores e múltiplos dos números toda vez que precisar determinar seus MDC e MMC. Existem meios mais práticos para isso e vamos falar sobre alguns a seguir.

Cálculo do MDC

Divisões Sucessivas

1. Divida o maior número pelo menor
2. Tome o divisor da última conta e faça o quociente dele pelo resto dessa última conta
3. Repita, sempre pegando o último divisor e fazendo o quociente pelo último resto, até obter uma divisão exata.
4. O divisor da divisão exata é o MDC procurado.

Acompanhe:

Decompondo em Fatores Primos

1. Fatore o primeiro número em fatores primos
2. Faça o mesmo com o segundo número
3. Multiplique os fatores primos em comum
4. Pronto. O MDC é o produto encontrado.

Veja:

Dados 2 ou mais números, se um deles for divisor de todos os outros, então ele será o MDC destes números.

Primos entre si

Dois números são ditos Primos Entre Si caso o MDC entre eles seja 1.

    Um exemplo são os números 14 e 25. O único divisor em comum é o 1, ou seja, MDC(14,25) = 1.

Se dois números são primos entre si, o MMC entre eles será o produto destes dois números.

Cálculo do MMC

O modo direto de determinar o MMC entre dois ou mais números é através da decomposição em fatores primos.

1. Coloque lado a lado, separados por vírgulas, os números envolvidos no cálculo do MMC
2. Trace uma barra vertical à direita do último número - conforme visto na primeira parte deste tópico
3. Determine o menor primo possível pelo qual ao menos um dos números possa ser dividido e anote este número primo no lado direito da barra
4. No lado esquerdo anote o resultado da divisão de cada número pelo primo que foi determinado no passo anterior. Caso a divisão exata não seja possível, ao invés do resultado, apenas copie novamente o número que não foi possível efetuar o quociente
5. Repita os passos de 2 a 4 até chegar no quociente 1 para todos os números
6. O produto entre todos os fatores primos anotados no lado direito da barra será o MMC procurado.

Veja

Dados dois ou mais números, se um deles for múltiplo de todos os outros, então ele será o MMC dos números dados.

Estão lembrados das somas e subtrações de frações? (se não, reveja aqui)

Tínhamos a seguinte definição:

    Dados os números inteiros a, b, c, d - sendo b e d diferentes de zero - a soma a/b + c/d dá-se do seguinte modo:

    a/b + c/d = (ad + bc)/bd

    Caso b e d não sejam primos entre si, a fração obtida como soma será uma fração redutível e deverá ser simplificada para apresentarmos o resultado final da operação.

    Um modo de evitar isso, é encontrar o MMC(b, d) e utilizá-lo como denominador da soma, no lugar de bd.