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domingo, 21 de setembro de 2014

Equações

Uns Mais Iguais Que os Outros

É impossível prosseguir os estudos em Matemática sem se deparar com elas. Estão por toda parte e são ferramentas importantes na resolução de problemas das mais diversas complexidades e finalidades.
Vimos, dias atrás, as expressões numéricas. Agora também veremos expressões, mas as algébricas! A diferença para a primeira é que esta não contém apenas números, pode conter letras. A princípio, uma letra.


Uma equação pode ser definida como uma igualdade entre duas coisas. Trata-se de uma expressão algébrica que contém ao menos uma incógnita (valor não conhecido, o qual busca-se desvendar com a resolução) que é igualada a uma outra expressão ou valor. Resolver a equação, significa encontrar o valor numérico que está "escondido" na incógnita e que satisfaça a expressão da igualdade inicial.
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Por exemplo: 

Joãozinho comprou 2 almofadas e gastou 14 reais. Sabendo que as almofadas são iguais e o preço delas é o mesmo, quanto custa cada uma?


    A expressão por trás desta situação é a seguinte: 2x = 14

    Onde x é a incógnita (poderia ser qualquer outra letra. O x é usual, mas não impede que você use uma letra diferente), isto é, é o valor desconhecido que precisamos descobrir. Ele representa, neste caso, o custo de uma almofada (note que x + x = 2x, pois ele comprou 2 almofadas), que é exatamente o que o exercício está pedindo.
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Mas como eu posso resolver uma equação?

Vamos utilizar o que já conhecemos para isso. As operações básicas e as propriedades dos números reais.

Como se trata de uma igualdade (sempre se lembre disso: TODA equação É uma igualdade!), temos de partir do princípio de que a igualdade deve ser mantida - devemos manter o equilíbrio da expressão. Para que isso aconteça, conforme formos mexendo em cada lado da expressão algébrica que forma a equação (o lado esquerdo da igualdade é dito Primeiro Membro da Equação, e o lado direito é o Segundo Membro), devemos mexer também "do outro lado" dela, afim de mantermos a igualdade inalterada.

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Suponha que você tem um álbum de figurinhas com 50 delas já coladas. Quantas ainda faltam para completar o álbum, sabendo que o total é de 75 figurinhas?


    Vamos chamar essa quantidade de figurinhas que faltam de x (pois ainda não sabemos quantas são).

    Se já possui 50, precisará somar as que faltam - que é x - para chegar ao total de 75. E isso é representado assim:  50 + x = 75
   
    Eis aí a nossa equação!
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    E agora?
 
    Bem, precisamos efetuar algumas operações afim de descobrir o valor do x.
    Para isso, precisamos isolá-lo na equação, isto é, manter o x de um lado do sinal de igualdade e todo o restante deverá estar do outro lado. Mas como fazer?

    Vejamos quais operações serão necessárias:
    No primeiro membro, além do x temos o número 50 (positivo). Para que ele desapareça dali, é preciso que o transformemos no número zero, pois aí teríamos 0 + x (o que é a mesma coisa que ter somente o x). Para chegar no zero precisamos então subtrair 50, e teríamos 50 - 50 + x. Mas, lembre-se sempre que estamos tratando de uma igualdade, e para que ela não perca o sentido, para que não seja alterada, tudo o que fizermos em um membro da equação, teremos de fazer também no outro membro. Ou seja, se vamos subtrair 50 em um lado da igualdade, do outro lado também teremos de subtrair 50 e, deste modo, ela será preservada.


    Acompanhe:

          50 + x = 75
          50 + (-50) + x = 75 + (-50)    Note que acrescentamos, em cada lado, o -50
          
          Eliminando os parênteses (lembre das regras de sinais):
          50 - 50 + x = 75 - 50


          Agora, resolvendo de cada lado da igualdade:

          0 + x = 25


          Mas, como o zero não altera em nada, temos:

          x = 25


         Pronto! Descobrimos o valor do x, e isso quer dizer que resolvemos essa equação. O x vale 25, ou seja, faltam 25 figurinhas para completar o álbum.


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O resultado de uma equação é chamado de Raiz da equação, ou Conjunto Verdade (V). As possíveis soluções são chamadas de Conjunto Universo (U). No caso anterior, U era o conjunto dos Inteiros (Z) e o conjunto verdade era V = {25}


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Lembram do primeiro exemplo? O do Joãozinho?

A equação desse caso era: 2x = 14
Como fazer para descobrir o valor da incógnita e assim resolver essa equação?

     É sempre a mesma idéia: manter o x isolado em um membro da equação, e o restante deverá estar do outro lado. Neste caso, o x está sendo multiplicado pelo 2. É hora de lembrar de uma propriedade dos números reais - aquela que fala sobre o inverso. 
    Multiplicando um número pelo seu inverso obtém-se o 1. Logo, vamos multiplicar os dois lados da igualdade pelo inverso do 2, que é o 1/2:
    
        2x . 1/2 = 14 . 1/2
        Resolvendo ambos os lados, 
     
        x = 14/2 
        x = 7


       Portanto, cada almofada que o Joãozinho comprou custou 7 reais.




No caso de haver uma expressão maior em qualquer um dos membros, devemos resolvê-la para então prosseguir com as operações que irão isolar a incógnita em um dos lados da igualdade.




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Vamos exercitar um pouco


1. Resolva as equações:

a) x + 4 = 1
b) -3x + 2(x - 3/4) = 1/4
c) x + 21 = -3(x - 2/3 + 2) - 1

2. Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

3. A soma da minha idade com a idade de meu irmão dá 37 anos. Sabendo que sou 7 anos mais novo que meu irmão, qual é a minha idade?
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