Frações - II (Operando Soma e Subtração)

Operando Frações - Soma e Subtração

Vamos enfim botar a mão na massa!

Considere, para todos os casos a seguir, as frações a/b e c/d sendo a, b, c, d inteiros com b e d diferentes de zero.  

Somando (ou Subtraindo)

 Temos que considerar duas situações para a soma de frações. 

1. Frações com denominadores iguais (denominador comum) e
2. Frações com denominadores diferentes

1. Para as frações com mesmo denominador

    Considere as frações a/b e c/d. Quando somadas, temos:

    a/b + c/d = (ad + bc)/bd  É assim que se monta a soma de frações

   Mas, os denominadores são iguais, portanto a/b + c/d = a/b + c/b = (a + c)/b.

    Quando o denominador é o mesmo para as duas frações, nós "juntamos" os numeradores e mantemos o denominador: a/b + c/b = (a + c)/b.

    _________________________________

    Veja:

        Efetue a soma: 3/5 + 19/5

        Como vimos, manteremos o denominador e somaremos os numeradores: (3+19)/5 = 22/5

    _________________________________

   

2. Para as frações com denominadores diferentes

    Considere as frações a/b e c/d. Quando somadas, temos:
       
    a/b + c/d = (ad + bc)/bd
    Isso quer dizer que temos de transformar essa operação numa soma de frações com o mesmo denominador.

Obs.:  Quando escrevemos duas variáveis (letras que representam valores numéricos quaisquer) seguidas, uma ao lado da outra, isso representa uma multiplicação. Isto é, ab é a mesma coisa que a . b
__________________________________

Exemplo

    Qual a soma de 1/3 + 2/5?

    

    Comece pelo denominador. Multiplique-os e coloque esse produto como o novo denominador. Em seguida, para obter o numerador conforme a definição que vimos logo acima, divida esse número encontrado pelo denominador da primeira parcela (que é o 1/3) e multiplique pelo seu numerador. Mantenha o sinal* e faça o mesmo com a segunda parcela. Deverá chegar ao seguinte desenvolvimento:

    1/3 + 2/5 = (15:3.1)/15 + (15:5.2)/15  - observe esse 15 no denominador, é o produto dos denominadores das duas frações envolvidas na soma.

   Agora temos de resolver os numeradores: 

        (15:3.1) = 5 e (15:5.2) = 6 

        Então reescrevemos a soma: 1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15

        Veja que chegamos a uma soma de frações com o mesmo denominador, e recaímos no primeiro caso. 

        Basta somar os numeradores e manter o denominador. Teremos: 5/15 + 6/15 = (5+6)/15 = 11/15.

      

       Portanto a soma 1/3 + 2/5 vale 11/15. 

 __________________________________

Caso chegue em uma resposta cuja fração possa ser simplificada, sempre a simplifique e dê como resposta uma fração irredutível. Isso irá ocorrer quando o denominador comum às frações da soma não for o menor número que é múltiplo ao mesmo tempo desses 2 denominadores. Aí basta simplificar a soma obtida que terá o resultado. 

Você pode ainda, para encontrar o denominador comum, utilizar o conceito de frações equivalentes.

__________________________________

Acompanhe:

        Pegue a primeira fração, 1/3 

        Vamos multiplicá-la pelo fator comum 2 (ou seja, multiplicar em cima e embaixo pelo 2): 

            1.2/3.2 = 2/6

        

        É possível encontrar um número natural para multiplicarmos a segunda fração, que é a 2/5, de modo que o denominador dela também seja 6? Não é possível. 

        De fato, se multiplicarmos 2/5 pelo fator 2, obteremos já o denominador 10. 

        Temos que partir para outra tentativa.

        Vamos então multiplicar a primeira fração pelo fator comum 3:

            1.3/3.3 = 1/9  Note que também não será possível obter um denominador 9 na segunda fração utilizando esses mesmos passos.

        Então vamos tentar o fator 5. Veja

            1.5/3.5 = 5/15

        Agora precisamos que a segunda fração também fique com o denominador 15. 

        O fator comum então para a segunda fração será o 3, pois

            2.3/5.3 = 6/15

        Agora, com as duas frações devidamente transformadas em frações equivalentes e que tem o mesmo denominador, voltamos ao primeiro caso e podemos somá-las:

            5/15 + 6/15 = (5+6)/15 = 11/15

__________________________________

Um modo mais direto é utilizar o chamado MMC**, que já dará como denominador comum para ser usado um número que será o menor número múltiplo ao mesmo tempo dos 2 denominadores das frações envolvidas na soma (Mínimo Múltiplo Comum).

 ____________________________________
 * Veremos mais à frente sobre o tratamento de sinais.
** Também veremos mais à diante a respeito do MMC.