Os Racionais

O Conjunto dos Racionais - Q

Até agora vimos aqui os números naturais (N) e os inteiros (Z) e falamos um pouco sobre esses dois conjuntos. Com a necessidade dos cálculos de razões (divisões) e proporções (igualdade entre divisões) para satisfazer a diversas necessidades cotidianas, conheceu-se os chamados Números Racionais. O conjunto desses números é representado pela letra Q.

Mas quem são eles? 

Sabe quando você vai dividir um bolo ao meio? Pois é, aí está a razão desta situação, o número 1/2

representa uma parte de um total de duas. O bolo foi dividido ao meio, certo? Existem então 2 partes desse bolo e cada uma delas é representada pelo 1/2. 

Os racionais são todos os números que podem ser representados desta maneira, ou seja, são os números que podem ser representados como a / b, onde a e b são números inteiros e o número b obrigatoriamente deve ser diferente de zero.

O que quer dizer "número b obrigatoriamente diferente de zero"?

Primeiramente, veja que citei "número b", e não "letra b". Por quê? Na Matemática, quando precisamos representar uma generalização, isto é, indicar que para aquela situação podemos usar qualquer número de um determinado conjunto, é de bom grado utilizarmos uma letra para isso, sendo que poderá substituir tal letra por qualquer valor pertencente ao conjunto em questão. 

Ah, mas isso tá muito complicado! - diria o estudante preocupado.

Que nada!!

Aqui dissemos que o número b é um número inteiro, portanto poderá substituir qualquer número que seja do conjunto Z no lugar de b, desde que esse número não seja o zero.

Veja, o conjunto dos números inteiros tem infinitos elementos, e entre eles podemos escolher qualquer um que não seja o zero. Podemos escolher o 1, 54, -98, -9, 100, etc.

Um outro jeito de representar isso seria dizer que b pertence ao conjunto Z*

Ah bom, tá melhorando! rsrs

Mas o zero não pode, por quê? 

Dissemos também que o número 1/2 representa uma parte de um todo (o todo são as duas partes do bolo), e mais genericamente podemos dizer que a / b pode representar uma parte a de um todo b. Mas como seria feito isso se o todo não existisse (ou seja, se ele fosse zero)? Aí não teria como, não é mesmo? Por isso que o número b tem de ser diferente de zero.

Observe que quando você efetua o quociente (a divisão) dessa representação racional, você terá como resultado um número decimal. Os decimais também são uma representação dos números racionais.

No caso do racional 1/2, quando efetuamos a divisão 1:2 o resultado será 0,50 - que é a representação decimal do 1/2. Ambos representam a metade de alguma coisa.

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Por exemplo:

   Número racional: 1/2    3/5    1/3            1/10
   Forma decimal   : 0,5    0,6    0,333...      0,1

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Então, concluímos que os racionais são todos os números que podem ser escritos como o quociente a/b, onde esses números a e b são inteiros e ainda b é diferente de zero.

Note que todo número inteiro - e por consequência todo natural - pode ser escrito como o quociente a/1, pois a/1 = a. Isto quer dizer que todo número inteiro é também um número racional. Já o contrário não é verdade.

Veja

    Os inteiros 20, 35, -4 podem ser escritos como 20/1, 35/1, -4/1 e assim seus valores não são alterados. 

Resumidamente, pode-se descrever os Racionais da seguinte maneira:

    Q = {a/b, a e b pertencentes a Z e b diferente de zero}