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quinta-feira, 18 de setembro de 2014

Os Reais e as Dízimas

Faltam os Irracionais!


Vamos agora dar uma complementada nos conjuntos numéricos que já vimos.
Experimente construir um quadrado cujos lados meçam 1. O valor da diagonal desse quadrado será um número irracional - poderemos ver isso mais adiante quando tratarmos do Teorema de Pitágoras.
Ou ainda, meça o comprimento de uma circunferência e divida esse valor pelo seu diâmetro. Esse resultado também será um número irracional, o pi.

Esses números, chamados Irracionais - I, não podem ser representados na forma de uma fração com numerador e denominador inteiros. Em outras palavras, não podem ser expressos como um racional, ou seja, da forma a/b com a e b inteiros sendo b diferente de zero.

Os Irracionais, juntamente com os demais conjuntos numéricos que já vimos, formam o conjunto dos números Reais - R.
Assim como nos outros conjuntos, os Irracionais possuem infinitos elementos.

Exemplos de Irracionais


Raiz quadrada de 2


Raiz quadrada de 3


As raízes quadradas de números primos são sempre números irracionais.

Dízimas



Tratemos agora de alguns aspectos das representações decimais dos números Reais.

Quando você se depara com um número que possui infinitas casas decimais, dizemos que tal número é uma Dízima Infinita.

Se essas casas decimais mantiverem um padrão - ou período (grupo de números que se repetem infinitamente nas casas decimais - vamos indicálo por uma barra logo acima dele) - diz-se que a dízima é infinita e periódica.
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Veja alguns exemplos:
           
    3,43  -  é uma dízima infinita e periódica, tendo como perído o número 43 (isso é indicado pela barra logo acima do número), e indica o número 3,434343434343....
                    
    2,34957  -  é uma dízima infinita e periódica, tendo como período o número 957, e indica o número 2,34957957957957....

    2,12342135697855212213369873....  -  é uma dízima infinita e não periódica (não apresenta período).

    2,12314  -  é uma dízima finita.

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                 As dízimas finitas são as representações decimais dos números racionais.
                Podem ser descritas como tal (a/b, com a e b inteiros sendo b diferente de zero).


                As dízimas infinitas periódicas também representam um número racional. 
                Por exemplo, 1/3 = 0,33333...

                As dízimas infinitas e não periódicas são a representação decimal dos números
                irracionais. 
                Não dá para descrevê-las como um quociente de dois números inteiros.
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As Dízimas Infinitas Periódicas e as Finitas



Tais dízimas referem-se, como vimos, a números racionais. Portanto existe uma representação em forma de quociente de dois inteiros para cada um desses números decimais.


Para encontrar a representação decimal de uma fração, basta efetuar o quociente  
            numerador : denominador.


Já o inverso, para encontrar o racional representado por um determinado número decimal, precisamos lançar mão de alguns métodos não tão diretos que são abordados aqui.

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