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quinta-feira, 30 de outubro de 2014

Conjuntos - Conhecendo e Trabalhando

Os Conjuntos


Já vimos aqui, praticamente desde o início das publicações, algumas coisas a respeito de conjuntos, mais especificamente os conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.

Então, já sabem que um conjunto nada mais é que uma coleção de elementos com características em comum.


É com naturalidade, então, que podemos definir:



  1. Conjunto Vazio: não tem elementos;
  2. Conjunto Unitário: tem apenas 1 elemento;
  3. Conjunto Finito: quantidade enumerável de elementos;
  4. Conjunto Infinito: é dado por uma propriedade que deverá ser satisfeita para cada um de seus elementos;
  5. Igualdade: um conjunto é igual a outro se, e somente se, todos os seus elementos forem iguais.


Listando



Listar um conjunto é descrevê-lo com todos os seus elementos. Damos um nome a ele, indicando por uma letra maiúscula de nosso alfabeto, e entre chaves colocamos seus elementos, separados por vírgulas (caso precise utilizar letras para representar os elementos, utilize as minúsculas).



Por exemplo, o conjunto A dos números inteiros estritamente positivos menores que 10.


    A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ou A = {a ∈ Z ∕ a < 10} 

Veja que este conjunto A é finito, pois é possível enumerar seus elementos.


Note ainda, que um dado conjunto B = {3, 2, 1, 4, 5, 7, 6, 8, 9} é exatamente igual ao conjunto A,
pois todos os elementos são iguais.

    Assim, A = B se, e somente se, todo elemento de A também estiver em B, e vice-versa.


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Obs:

    Conjunto Vazio: { } ou ø
    Conjunto Unitário: {a}
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Para continuar o tema dos conjuntos, precisaremos de alguns esclarecimentos sobre meios que vamos utilizar para operar com seus elementos e outros conjuntos. São as relações existentes sobre os conjuntos.



Pertinência




    Relaciona um elemento ao conjunto que ele pertence. Ou seja, define se um elemento está ou não em um dado Conjunto. Simbolicamente temos:


    Pertence: ∈
    Não Pertence: ∉


Subconjunto



    Quando todos os elementos de um dado conjunto também pertencem a um outro conjunto diferente do primeiro, dizemos que um está contido no outro. Isto é,



        Dados os conjuntos não-vazios A e B. Se todo elemento de A está em B mas nem todo elemento de B está em A, então dizemos que A está contido em B e, por consequência, A é subconjunto de B. Denotamos assim:



    A  ⊂  B



        Um outro modo de ver essa mesma relação é enxergando que B contém o conjunto A, denotando:



    B  ⊃  A



Assim:


    Está Contido:  ⊂

    Não Está Contido:  ⊄
    Contém:  ⊃
    Não Contém:  



União de Conjuntos



    Se temos dois conjuntos diferentes, A e B, e resolvemos descobrir a união deles, teremos nada mais que um terceiro conjunto que conterá todos os elementos dos outros dois.



   Notação:  ∪



    Por exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 2, 6} e B = {-2, 0, 1}, qual é o conjunto A  ∪  B ?


        A  ∪  B  =  {-2, 0, 1, 2, 6}



Interseção de Conjuntos



   A interseção é o subconjunto dado por todos os elementos que estão ao mesmo tempo em A e em B.

    Notação:  ∩

    Exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 2, 6} e B = {-2, 0, 1}, qual é o conjunto A ∩ B ?


            A ∩ B = {0}





Conjunto vazio é diferente de um conjunto unitário que contém o elemento zero.
A = ø  ≠  B = {0}


Diferença de Conjuntos



    É formada pelos elementos que estão no primeiro conjunto mas não estão no segundo.

    Notação: A∖B    ou    A − B

    Exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 2, 6} e B = {-2, 0, 1}, a diferença entre A e B é dada por


            A−B = {2, 6}



Complementar



    É a diferença de conjuntos quando o segundo é um subconjunto do primeiro.



    Notação: AC



    Por exemplo: Dados os conjuntos A = {0, 2, 6} e seu subconjunto D = {0, 6}, temos que o complementar de D em A é dado por:


    DC   =  A − D = {0, 2, 6} − {0, 6} = {2}


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Quando precisamos relacionar dois conjuntos ordenando seus elementos 2 a 2, temos um Produto Cartesiano.



Em outras palavras, dados dois conjuntos distintos A e B, o produto cartesiano A × B (A cartesiano B) é dado por pares formados de um elemento de A com um elemento de B, onde a ordem importa.


Então, 

    A × B = { (a, b) | a ∈ A e b ∈ B } 
    Leia: A cartesiano B é o conjunto dos pares ordenados (a, b) tais que a pertence ao conjunto A e b pertence ao conjunto B.
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