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sexta-feira, 17 de outubro de 2014

Dízimas - Um pouco mais sobre elas

Como transformar em fração? 



Antes é preciso deixar claro que as dízimas que trataremos aqui são as representações decimais de números racionais. Portanto não trabalharemos com as dízimas infinitas e não-periódicas (pois trata-se de números irracionais, e veremos oportunamente sobre eles).


Toda fração tem uma representação decimal e essas podem ser infinitas ou finitas. As que tem fim, já foram abordadas aqui.


As Dízimas Infinitas


Quando um número decimal tem infinitas casas depois da vírgula e tais números apresentam um padrão (sempre se repetem a partir de determinada casa decimal), dizemos que tal dízima é infinita e periódica - pois apresenta números que se repetem indefinidamente nas casas decimais (o período).


Se houver números entre a vírgula e o período, os chamamos de parte não-periódica (ou antiperíodo) da dízima. E essa será uma dízima periódica composta.


Escrevemos a dízima até o seu período e colocamos uma barra horizontal em cima deste, indicando que esta será a parte que se repetirá infinitamente.


Por exemplo:


 Transformando em frações


No caso da dízima periódica simples, colocamos o período no numerador e o denominador terá tantos números 9 quantos dígitos houver no período. Assim:
   

Repare que na terceira dízima da figura acima  há uma parte inteira e três dígitos no período. Pode-se desmembrar o número numa soma da parte inteira com a dízima:





E então aplicar o que foi citado acima, isto é, colocar os algarismos do período no numerador e no denominador vai a quantidade de três números 9 (pois é a quantidade de algarismos do período). Daí basta efetuar a soma:

    1 + 123/999 = 1122/999



Para as dízimas periódicas compostas o raciocínio é bem parecido.
Vamos continuar colocando um número 9 no denominador para cada dígito do período, contudo, para cada algarismo do antiperíodo acrescentaremos - também no denominador - um número zero.
Para o numerador, temos de fazer a seguinte conta:




    (parte inteira com antiperíodo e período) - (parte inteira com antiperíodo)

________________________

Exemplo:
                                                              


        Note que há uma parte inteira diferente de zero, uma parte não-periódica (antiperíodo) e o período, conforme a seguir:

            parte inteira: 1
            antiperíodo: 3
            período: 721

     Podemos, então, montar os números para fazer a conta do numerador.

        Parte Inteira com Antiperíodo e Período: 13721
        Parte Inteira com Antiperíodo: 13

        Numerador: 13721 - 13 = 13708

    Para o denominador, serão três números 9 acompanhados de um zero (pois há um algarismo no antiperíodo):


        Denominador: 9990

    Logo, a fração que gera a dízima dada (fração geratriz) é:

    13708 9990


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