Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais e Regra de Três Simples

Primeiro as Grandezas

Antes de pisar no terreno das regras de três, precisamos verificar um detalhe crucial: o modo como duas grandezas se relacionam.

São diversas as situações que podemos relacionar duas grandezas, vejamos algumas.

    Uma montadora consegue entregar 100 veículos a cada hora de trabalho. Quanto mais horas trabalhadas, mais veículos serão entreges. Observe:

    Se compararmos a razão entre duas horas quaisquer da tabela acima com a razão entre as respectivas quantidades de veículos entregues nessas horas, veremos que são iguais. Portanto, há uma proporção aí, e esta é dita diretamente proporcional.

            2/3 (razão entre as horas da segunda e terceira linhas)

            200/300 = 2/3 (razão entre as quantidades de veículos da segunda e terceira linhas)

            2/4 = 1/2 (razão entre a segunda e quarta linha da coluna de horas)

            200/400 = 1/2 (razão entre a segunda e quarta linhas da coluna de veículos entregues)

    Como dito anteriormente, essas razões são iguais, e tais grandezas são diretamente proporcionais.

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Quando ocorre o contrário, ou seja, quando as razões entre 2 itens são o inverso da razão de seus correspondentes, dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais.

    Ainda com o exemplo da montadora, suponha que a produção de 400 veículos (efetuada em 4 horas, de acordo com o exemplo anterior) é feita por 20 funcionários. Ao dobrarmos o número de trabalhadores, o tempo de produção cai pela metade! E se for multiplicado em quatro vezes o número de funcionários, teremos uma produção em 1/4 do tempo inicial.

    Olhando para as razões implícitas nesta tabela, note que a razão entre os funcionários é exatamente inversa à razão dos seus respectivos tempos de produção. Veja:

            20/40 = 1/2 (razão entre as duas primeiras quantidades de trabalhadores listadas na tabela)

            4/2 = 2/1 = 2 (razão entre as duas primeiras horas listadas na tabela)

            Viu só? 1/2 é o inverso de 2, e vice-versa.

    Por isso, essas grandezas são ditas inversamente proporcionais. Conforme uma aumenta, a outra diminui.

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Com o que vimos até agora a respeito de razões e proporções, podemos passar para as regras de três.

Regra de Três Simples

É um dispositivo prático para se obter o valor desconhecido de uma proporção simples (entre duas razões).

Para isso, é preciso interpretar a situação-problema afim de identificar se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais. E então monta-se a proporção.

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Vejamos um exemplo

    Joaquim foi viajar de carro com a família em suas férias. O destino estava a 600 Km de distância. Se em 2 horas ele percorreu 250 Km, quanto tempo falta para chegar ao destino?

    Primeiramente vamos identificar as grandezas envolvidas e os valores correspondentes a elas. Assim podemos montar a seguinte tabela:

    Observe que o valor da distância correspondente à linha do x é de 350 Km pois Joaquim já percorreu 250 Km. Sendo assim, faltam exatamente 350 Km (600-250) para chegar ao seu destino.

    Note que conforme a distância percorrida aumenta, o tempo gasto também aumenta, ou seja, as duas grandezas envolvidas aumentam e, portanto, elas são diretamente proporcionais! Em uma coluna foram colocados os valores das horas e na outra coluna a grandeza representada pela distância, e nas mesmas linhas estão os valores correspondentes (a 2 horas de trajeto correspondem 250 Km percorridos).

    Podemos, assim, montar a proporção:

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, chegamos à seguinte equação:

    250x = 2 . 350

    250x = 700

    E, portanto, x = 700/250, ou seja, x = 2,8h.

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É estranha essa resposta, não é mesmo? Afinal, o que são 2,8 horas? Aí está a chance de fazer mais uma regra de três simples.

Sabemos que 1 hora equivale a 60 minutos. A quantos minutos, então, equivalem 0,8 horas?

Veja a tabela

Estamos considerando apenas o "valor quebrado" - a parte decimal das 2,8 horas, pois 2 horas já estão inteiras!

Observe que sempre que você aumenta a quantidade de horas, os minutos também aumentarão. Trata-se, assim, de duas grandezas diretamente proporcionais. 

    Montando a proporção:

        1/0,8 = 60/x

        1x = 0,8 . 60

        x = 48

    Logo, o tempo que ainda falta para Joaquim e sua família chegarem ao destino, é de 2 horas e 48 minutos.

Agora, ainda utilizando o exemplo do Joaquim, imagine que ele fez a primeira metade do trajeto a uma velocidade média de 100 Km/h e gastou assim 3 horas para isso. Mas, Joaquim está com pressa e na segunda metade ele resolve acelerar mais, e percorre este último trecho a uma velocidade média de 150 Km/h. Desse modo, em quanto tempo eles percorrerão a parte final desta viagem? (não considere o risco que todos correram e nem as possíveis multas que possam ter tomado rsrsrs)

    Das informações retiradas do problema, podemos montar a seguinte tabela:

    A uma velocidade média de 100 Km/h foram gastas 3 horas. Já à velocidade média de 150 Km/h nós ainda não sabemos o tempo gasto, por isso a incógnita vai justamente aí.

    Note que ao aumentar a velocidade, a viagem será feita em um tempo menor. Portanto, quanto mais se aumenta a velocidade, menor será o tempo transcorrido. Isso quer dizer que essas duas grandezas são inversamente proporcionais e, ao invés de montar a proporção colocando a incógnita como na tabela acima, devemos inverter essa razão. 

    Como assim? 

    Ora, no lugar de 3/x utilizaremos x/3.

Observe que também poderá inverter a outra razão, desde que mantenha inalterada a razão da incógnita. Como na regra de três simples tratamos de uma proporção com apenas duas razões, tanto faz a razão que será invertida na hora de montar a proporção.

    Assim, a proporção será

    E isso nos dá a seguinte equação:

        150x = 3 . 100

        150x = 300

        x = 300/150

        x = 2

    Portanto, o trecho final do trajeto de Joaquim será feito em 2 horas.