Potenciação e Radiciação - I

O que é Potência?

Certamente você se lembra das tabuadas e do conceito de multiplicação ali embutido (a soma de parcelas repetidas). Quando, ao invés de somar, você multiplica repetidamente o mesmo número, está criando aí uma potência deste número.

Ah, então a potenciação (ou exponenciação) pode ser vista como uma multiplicação de parcelas repetidas? 

Sim, pode - quando esse número de parcelas é inteiro. O número de vezes que se repete a parcela nesta multiplicação é chamado de expoente. E o fator que está sendo multiplicado é dito base.

Portanto, uma operação de potenciação é elevar uma base a um determinado expoente, ou seja, multiplicar essa base por ela mesma tantas vezes quantas indicar o número do expoente. 

    Veja:

            2⁴ = 2 . 2 . 2 . 2 = 16 (leia: dois elevado à quarta potência é igual a 16)

No exemplo acima, o 2 é a base, e o 4 é o expoente. Ou seja, o 2 será multiplicado repetidamente por ele mesmo 4 vezes.

Quando a base é elevada aos expoentes 2 ou 3, diz-se que este número está elevado ao quadrado ou ao cubo, respectivamente. Assim:

4² (quatro elevado ao quadrado - ou à segunda potência)
                        7³ (sete elevado ao cubo - ou à terceira potência)

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Generalizando,

    a^b = a . a . a . ... . a (multiplicação de b fatores iguais ao número a).

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Expoente Inteiro (Z)

A explanação acima já resumiu o que é uma potenciação de base real e expoente inteiro nos casos onde o expoente é positivo e maior do que zero. Vamos ver algumas particularidades.

• Uma fração, quando elevada a um expoente, tem numerador e denominador  elevados a esse expoente - contanto que o denominador seja diferente de zero. Mais precisamente, 

          (a/b)² = a²/b²     (sendo b diferente de zero)

         Os decimais também obedecem a essa definição:

           2,01³ = 2,01 . 2,01 . 2,01 = 8,120601

• Quando uma multiplicação está elevada a um dado expoente, temos de elevar cada fator da multiplicação a esse expoente. Assim:

         (ab)^c = a^c . b^c
 

• Todo número elevado ao expoente 1 retorna ele mesmo como resultado, e todo aquele elevado à potência zero retorna 1 como resultado.

        a¹ = a

        a⁰ = 1


    Multiplicando

    Quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes e conservamos a base.       

    Assim:
            2³ . 2² = (2 . 2 . 2) . (2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁵

    Em geral,

    Se a, b e c diferentes de zero (b e c inteiros), então a^b . a^c = a^b+c

    Dividindo

    Já quando dividimos potências de mesma base, nós devemos subtrair os expoentes. Acompanhe:

    Generalizando,  a^b : a^c , com  a  não-nulo, é igual a a^{b - c}

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Podemos, então, explicar melhor o por quê de a⁰ = 1: 

    Admita a diferente de zero.

    Observe que se b = c, então a⁰ = a^{b - c} = a^{b - b}. 

    Mas, acabamos de ver que a^b - b = a^b : a^b   e, como todo número que é dividido por ele mesmo, o resultado será 1. Portanto, 

        a⁰ = 1
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• Se o expoente for negativo, com a base não-nula, então:

          a^-n = 1/aⁿ

    Veja o por quê:

        Vimos que a⁰ = 1 e que a^m : aⁿ = a^{m - n} 

        Se m = 0, então a^{m - n} = a^-n

        Mas, 
            a^m - n = a^m : aⁿ = a^m/aⁿ

        Ainda, a^m = a⁰ = 1. 
        Portanto, como 1/aⁿ  = a^m - n  = a^-n  , temos que  a^-n  = 1/aⁿ 
   

Observe que a é não-nulo, pois se fosse invalidaria esta igualdade, já que não existe divisão por zero.

• Elevando uma potência a um dado número, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. É a chamada potência de potência.

                (a^b)^c = a^bc    ,  com a não-nulo

(a^b)^c NÃO é o mesmo que a^bc

Isso porque no primeiro caso estamos elevando o a^b à potência c. No segundo, estamos elevando o expoente b à potência c. 

    Veja:

        (2²)³ = 2⁶ = 64

        2²³ = 2⁸ = 256 (pois elevamos o expoente 2 ao cubo antes de efetuar a potenciação do número 2)

     Portanto, (2²)³ é diferente de 2²³

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Algumas observações a respeito da potenciação

• Todo número elevado a um expoente par resultará num valor positivo.

              Isso devido à regra dos sinais (reveja aqui).

              Note que um expoente par implica numa multiplicação de uma quantidade par de fatores de um determinado número. Por exemplo:

                     (-3)⁴ = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = 81

              Podemos agrupar os fatores de 2 em 2, e assim fazer a regra de sinais (negativo multiplicando negativo resulta num número positivo). Ou seja,

                     (-3)⁴ = [(-3) . (-3) ] . [(-3) . (-3)] = (+9) . (+9) = +81

    Em geral, dados a, b não-nulos, se a é negativo, então:

            a^b = +c (um número c positivo) caso b seja par.

            a^b = -c  (um número c negativo) caso b seja ímpar.

Note ainda que (-2)² é diferente de -2² , pois no primeiro caso o sinal (lembra do -1 multiplicando o número quando o sinal de menos aparece antes dele?) também é elevado à potência 2. No outro caso, o sinal não entra na resolução da potência, pois apenas o 2 está elevado ao quadrado.

Assim, (-2)² = (-2) . (-2) = 4 , e  -2² = -(2²) = -(2 . 2) = -(4) = -4.

No próximo tópico abordaremos as potências racionais e as raízes.