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sexta-feira, 10 de outubro de 2014

Potenciação e Radiciação - I

O que é Potência?

Certamente você se lembra das tabuadas e do conceito de multiplicação ali embutido (a soma de parcelas repetidas). Quando, ao invés de somar, você multiplica repetidamente o mesmo número, está criando aí uma potência deste número.


Ah, então a potenciação (ou exponenciação) pode ser vista como uma multiplicação de parcelas repetidas? 



Sim, pode - quando esse número de parcelas é inteiro. O número de vezes que se repete a parcela nesta multiplicação é chamado de expoente. E o fator que está sendo multiplicado é dito base.






Portanto, uma operação de potenciação é elevar uma base a um determinado expoente, ou seja, multiplicar essa base por ela mesma tantas vezes quantas indicar o número do expoente




    Veja:

            24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16 (leia: dois elevado à quarta potência é igual a 16)


No exemplo acima, o 2 é a base, e o 4 é o expoente. Ou seja, o 2 será multiplicado repetidamente por ele mesmo 4 vezes.



Quando a base é elevada aos expoentes 2 ou 3, diz-se que este número está elevado ao quadrado ou ao cubo, respectivamente. Assim:


42 (quatro elevado ao quadrado - ou à segunda potência)
                        73 (sete elevado ao cubo - ou à terceira potência)



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Generalizando,


    ab = a . a . a . ... . a (multiplicação de b fatores iguais ao número a).

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Expoente Inteiro (Z)

A explanação acima já resumiu o que é uma potenciação de base real e expoente inteiro nos casos onde o expoente é positivo e maior do que zero. Vamos ver algumas particularidades.
  • Uma fração, quando elevada a um expoente, tem numerador e denominador  elevados a esse expoente - contanto que o denominador seja diferente de zero. Mais precisamente, 

          (a/b)2 = a2/b2     (sendo b diferente de zero)

         Os decimais também obedecem a essa definição:

           2,013 = 2,01 . 2,01 . 2,01 = 8,120601

  • Quando uma multiplicação está elevada a um dado expoente, temos de elevar cada fator da multiplicação a esse expoente. Assim:

         (ab)c = ac . bc
 
  • Todo número elevado ao expoente 1 retorna ele mesmo como resultado, e todo aquele elevado à potência zero retorna 1 como resultado.
        a1 = a

        a0 = 1


    Multiplicando

    Quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes e conservamos a base.       
    Assim:
            23 . 22 = (2 . 2 . 2) . (2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25

    Em geral,

    Se a, b e c diferentes de zero (b e c inteiros), então ab . ac = ab+c

    Dividindo
    Já quando dividimos potências de mesma base, nós devemos subtrair os expoentes. Acompanhe:




    Generalizando,  ab : a, com  a  não-nulo, é igual a ab - c

_________________________

Podemos, então, explicar melhor o por quê de a0 = 1: 

    Admita a diferente de zero.
    Observe que se b = c, então a0 = ab - c = ab - b
    Mas, acabamos de ver que a- b = a: ab   e, como todo número que é dividido por ele mesmo, o resultado será 1. Portanto, 

        a0 = 1
_________________________



  • Se o expoente for negativo, com a base não-nula, então:
          a-n = 1/an

    Veja o por quê:

        Vimos que a0 = 1 e que am : an = am - n 
        Se m = 0, então am - n = a-n

        Mas, 
            a- n = a: an = am/an

        Ainda, am = a0 = 1
        Portanto, como 1/an  = a- n  = a-n  , temos que  a-n  = 1/an 
   



Observe que a é não-nulo, pois se fosse invalidaria esta igualdade, já que não existe divisão por zero.



  • Elevando uma potência a um dado número, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. É a chamada potência de potência.
                (ab)c = abc    ,  com a não-nulo

(ab)c NÃO é o mesmo que abc
Isso porque no primeiro caso estamos elevando o ab à potência c. No segundo, estamos elevando o expoente b à potência c


    Veja:

        (22)3 = 26 = 64

        223 = 28 = 256 (pois elevamos o expoente 2 ao cubo antes de efetuar a potenciação do número 2)

     Portanto, (22)3 é diferente de 223

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Algumas observações a respeito da potenciação


  • Todo número elevado a um expoente par resultará num valor positivo.
              Isso devido à regra dos sinais (reveja aqui).
              Note que um expoente par implica numa multiplicação de uma quantidade par de fatores de um determinado número. Por exemplo:

                     (-3)4 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = 81

              Podemos agrupar os fatores de 2 em 2, e assim fazer a regra de sinais (negativo multiplicando negativo resulta num número positivo). Ou seja,

                     (-3)4 = [(-3) . (-3) ] . [(-3) . (-3)] = (+9) . (+9) = +81

    Em geral, dados a, b não-nulos, se a é negativo, então:

            ab = +c (um número c positivo) caso b seja par.
            ab = -c  (um número c negativo) caso b seja ímpar.

Note ainda que (-2)2 é diferente de -2, pois no primeiro caso o sinal (lembra do -1 multiplicando o número quando o sinal de menos aparece antes dele?) também é elevado à potência 2. No outro caso, o sinal não entra na resolução da potência, pois apenas o 2 está elevado ao quadrado.

Assim, (-2)2 = (-2) . (-2) = 4 , e  -22 = -(22) = -(2 . 2) = -(4) = -4.


No próximo tópico abordaremos as potências racionais e as raízes.
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