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terça-feira, 14 de outubro de 2014

Potenciação e Radiciação - II

E as raízes?

A radiciação é muitas vezes definida como a operação inversa da potenciação. Isso porque ela representa um número que, elevado a um determinado índice, retorna o valor do qual estamos procurando a raiz. 


Mas como assim?


Por exemplo, se quisermos saber a raiz cúbica de 27, precisamos encontrar o número que, elevado ao cubo, dê como resultado o número 27. E esse número será a raiz cúbica procurada. 


Elementos da radiciação


Calcular a raiz enésima de um número significa encontrar o valor que, elevado ao índice n retorna o número dado. 



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    No exemplo acima, 27 é o radicando, e é dele que queremos "extrair" a raiz. Como o exemplo pedia a raiz cúbica, precisamos encontrar o número que elevado à terceira potência (que é o índice) retorna 27 como resultado. 


    Assim, 

               3 . 3 . 3 = 27 

    Portanto, o número 3 é a raiz cúbica de 27.
_____________________


Quando tratamos de uma raiz com índice n = 2, a chamamos de raiz quadrada, e é usual omitir o índice no símbolo do radical.






Em relação ao índice da raiz, sempre que ele for par, o resultado da raiz deverá ser positivo. Isso porque o número resultante será elevado a uma potência par, e já vimos que toda potência par resulta em um valor positivo.



Se o índice for ímpar, então a raiz será positiva se o radicando por positivo, e será negativa se o radicando for negativo. Os motivos são os mesmos já citados no parágrafo anterior.




Daí podemos concluir que não existe raiz quadrada e, tampouco quaisquer outras raízes cujo índice seja par, de números negativos.




Relacionando a Radiciação com a Potenciação

Dissemos, no início deste tópico, que a radiciação é o inverso da potenciação. Mas como isso é representado? Bem, uma raiz representa uma potência de expoente fracionário.


    Por exemplo, a raiz quadrada de 4 também pode ser expressa como a potência de 4 elevado a 1/2.       Assim:




De um modo geral,



Podemos ainda, com base nas propriedades das potências, utilizar as seguintes propriedades da radiciação:


  1. Multiplicar (ou dividir) o índice e o expoente do radicando por um mesmo número não-nulo
  2. A raiz de uma potência é o mesmo que a potência da raiz
  3. Multiplicar (ou dividir) radicais de um mesmo índice é o mesmo que multiplicar (ou dividir) seus radicandos em um único radical







Portanto, se ao dividirmos radicais de mesmo índice podemos efetuar a divisão toda dentro de um único radical, então isso quer dizer que a raiz de uma fração obtém-se efetuando a raiz do numerador e a do denominador.




Com as propriedades vistas, podemos simplificar os radicais através de fatoração. Para isso, basta decompor o radicando em fatores primos e reescrevê-lo assim decomposto. Então, simplifica-se as potências que são iguais aos índices e apenas o que não deu para ser simplificado permanecerá dentro da raiz.




    Por exemplo, vejamos o cálculo da raiz quadrada do número 24:






    Note que ao decompormos o número 24 em um produto de fatores primos, aparece no radicando uma potência com expoente 3. Nós a reescrevemos, também fatorada e aparece então a potência quadrada, a qual é simplificada com o índice da raiz e é "extraída" de dentro do radical.


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