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quarta-feira, 1 de outubro de 2014

Razões e Proporções


Razões

Você obviamente já fez uma comparação de 2 itens quaisquer em sua vida: 


"Nossa, aquela casa ali dá umas 3 da minha!"
"Aprovaram 50 dos 400 inscritos naquele concurso."


E ainda há tantas outras comparações, quantas puder se lembrar. Muitas vezes sem saber, ao realizar essas medições e compará-las entre si, você está usando o conceito de Razão.

Pode-se então dizer, de forma mais geral, que a Razão é uma forma de comparação entre duas grandezas. É possível determinar quantas vezes um objeto é maior que o outro, ou quantas vezes ele caberia no outro, e assim por diante.
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Veja:


    Se sua casa tem 40 metros quadrados de área e a casa de seu vizinho tem 120 metros quadrados, então a casa dele é 3 vezes maior que a sua. Ou, a sua é 3 vezes menor. Representa-se assim:


        120  ou 120/40 
         40
       Simplificando, 120/40 = 3/1 = 3   (a casa do vizinho é 3 vezes maior que a sua)

    Podemos olhar também do seguinte modo:

        40/120 = 1/3  -  O que significa que sua casa é 3 vezes menor que a casa do seu vizinho (tem 1/3 do tamanho)

    No outro exemplo, de 400 inscritos em um concurso público, foram aprovados 50.
    Então,

        400/50 = 8  - O total de inscritos era 8 vezes maior que o total de aprovados.
        Ou, mais comumente:  50/400 = 1/8  -  E isso indica que a cada 8 inscritos, 1 foi aprovado
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Portanto, Razão nada mais é que uma comparação expressa através da divisão e, como tal, podemos encontrá-la das seguintes formas:

    A razão de 1 para 8, por exemplo
            1:8    ou    1/8    ou    0,125 (efetuando-se o quociente)




Note que fazer comparações entre grandezas que sejam de mesma origem, mesma espécie ou mesmo conjunto implica em um resultado também pertencente a esse conjunto. Se comparar grandezas diferentes, o resultado deverá ser acompanhado do quociente das respectivas grandezas. Por exemplo, quando comparamos as áreas de duas casas, estávamos trabalhando com duas medidas dadas em metros quadrados. Mas, se compararmos a distância percorrida por um automóvel com o tempo gasto para isso, teremos a resposta dada em Km/h


Proporções

É a igualdade entre duas razões. 


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Acompanhe:

        Eu peso 80 Kg e meu filho, 30 Kg. A razão entre nossos pesos é de 80/30 = 8/3
        Meu cão pesa 32 Kg e seu filhote pesa 12 Kg. A razão entre seus pesos é 32/12 = 8/3


       Note que as razões são iguais, de 8:3. Portanto, 80/30 = 32/12 e isso é uma proporção.

       Lemos: 80 está para 30 assim como 32 está para 12.
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Agora observe que 80.12 = 960 e 32.30 = 960.
Isso remete à Propriedade Fundamental das Proporções, que diz que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

De um modo mais geral, dados os números racionais não-nulos a, b, c e d, temos uma proporção quando há uma igualdade entre a/b e c/d, isto é, a/b = c/d.


Os números b e c são chamados de meios, e os números a e d são ditos extremos da proporção.


Portanto, de acordo com a propriedade fundamental citada acima, tem-se que ad = bc.

Quando b = c, a proporção é chamada de contínua, e tem-se a/b = b/d. Diz-se ainda que b é a média geométrica (ou proporcional) entre a e d.

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Por exemplo: Qual a média geométrica entre 4 e 16?


 4/b = b/16

Aplicando a propriedade fundamental: 4.16 = b.
Portanto, b = 8 (veremos mais adiante a respeito de potenciação e radiciação).
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Mais Algumas Propriedades das Proporções

Dados os racionais não-nulos a, b, c e d, temos:

  • (a+b)/b = (c+d)/d
  • (a+c)/(b+d) = c/d = a/b



Pode substituir o sinal positivo pelo negativo que as propriedades continuarão válidas.


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Exemplo: Determine x e y na proporção x/y = 2/3, sabendo que x+y = 13


    Utilizando uma das propriedades,



    x/y = 2/3  --> (x+y)/y = (2+3)/3 --> (x+y)/y = 5/3

    Como foi dito que x+y = 13, podemos substituir esse valor na proporção. Então


    13/y = 5/3  ---> 5y = 13.3



    Logo, y = 39/5.

    Do enunciado, sabemos que x+y = 13. Assim, x + 39/5 = 13


    x = 13 - 39/5  --> x = 26/5



    A proporção fica assim: (26/5)/(39/5) = 26/5 . 5/39 = 26/39 = 2/3.

    Portanto, x = 26/5 e y = 39/5. 
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