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sábado, 4 de outubro de 2014

Regra de Três Composta e Exercícios

Mais que Duas Grandezas



Trabalharemos agora as situações-problema que envolvem mais do que duas grandezas relacionadas entre si. O raciocínio é parecido com a regra de três simples. Temos, primeiramente, que identificar se as razões envolvidas são direta ou inversamente proporcionais à razão que contém a incógnita.


Para isso, é necessário extrair do problema as informações para montar a tabela das grandezas envolvidas e seus respectivos valores.

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Vejamos o exemplo a seguir.

    Numa obra 5 pedreiros precisam de 3 dias para construir um muro de 6 metros de comprimento. 
    Em quantos dias 3 pedreiros construiriam um muro de 8 metros de comprimento?

    Vamos identificar as grandezas e seus respectivos valores.


    Na primeira linha da tabela estão os valores que já temos para cada grandeza: 5 pedreiros que levaram 3 dias para construir o muro de 6 metros. Na linha debaixo, também informamos o que já sabemos, contudo há um valor que não foi dado: 3 pedreiros levariam quantos dias para construir um muro de 8 metros de comprimento? 


Como estamos lidando com mais de duas grandezas, devemos montar a proporção igualando a razão que tem a incógnita ao produto das outras razões, desde que já identificadas se são direta ou inversamente proporcionais àquela que tem a incógnita.


    Vamos então comparar as grandezas das razões que temos os valores com a razão que possui a incógnita. Observe que quanto maior for o número de pedreiros trabalhando, em menos dias eles concluirão a obra. Assim, a quantidade de pedreiros é inversamente proporcional à de dias necessários para realizar o trabalho. A razão das quantidades de pedreiros será invertida.

    Já ao compararmos o tamanho do muro, vemos claramente que quanto maior ele for, mais dias serão necessários para ficar pronto. Assim, o tamanho do muro e o prazo em dias são grandezas diretamente proporcionais. Então a razão entre os tamanhos do muro se manterá inalterada.

    Podemos, agora, montar a proporção:


    Logo, podemos resolver a equação gerada pela proporção acima.

    3/x = 3/5 . 6/8
    3/x = 18/40  observe que podemos simplifcar 18/40 pelo fator comum 2
    3/x = 9/20
    Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos

    9x = 3 . 20
    9x = 60
    x = 60/9
    x = 20/3
    x = 6,6666...

    Serão necessários mais do que 6 dias. Podemos arredondar a resposta para 7 dias, pois apenas 6 não serão suficientes para que os pedreiros concluam a obra. Portanto, para que os 3 pedreiros construam o muro de 8 metros de comprimento serão necessários 7 dias.
  

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Vamos praticar um pouco?

1. Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

2. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

3. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?

4. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?

5. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

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