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sexta-feira, 17 de abril de 2015

Funções Linear e Afim - Descobrindo e Exercitando




Quase Tudo é Função



Com o que foi visto até o momento é possível relacionar uma série de conceitos matemáticos ao nosso dia-a-dia. 

Por exemplo, se você é estudante, certamente sua sala de aula tem por volta de 30 a 40 pessoas. Vamos admitir que tenha 40. Temos, então, o conjunto de alunos de sua sala, formado por essas 40 pessoas. Deve haver, certamente, 40 carteiras, para que cada aluno possa se acomodar. Assim, existe o conjunto formado pelas carteiras da sala de aula. Observe que cada aluno ocupa somente uma carteira. Em outras palavras, um elemento do conjunto de alunos está relacionado a apenas um elemento do conjunto de carteiras. Então, a relação entre os alunos e as carteiras da sala de aula pode ser vista como uma função.


Assim como o exposto acima, há inúmeros exemplos de funções e suas aplicações na vida de todos nós (o custo do combustível em função do quanto o utilizamos, as contas de energia e água de acordo com o tanto que consumimos, e por aí vai). Vamos ver dois tipos delas, a princípio.

A Reta

Quando vimos a respeito de Proporcionalidade - reveja aqui - percebemos que se duas grandezas são proporcionais, então elas crescem (ou decrescem) no mesmo ritmo, dependendo aí se são direta ou inversamente proporcionais.

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Por exemplo,

    Se eu caminho 50 metros a cada minuto, então, conforme aumenta o tempo transcorrido, também aumenta a distância caminhada. Em 2 minutos, serão 100 metros (que é o mesmo que 2 ∙ 50), em 3 minutos teremos 350 = 150 metros percorridos, e em x minutos serão x50 metros percorridos. Assim, a distância vai depender do tempo, sempre na proporção Distância = tempo ∙ 50

Isto quer dizer que a distância está em função do tempo, ou, em outras palavras, conforme o tempo varia, a distância também o faz.

Assim, temos d = 50x, com d sendo a distância e x sendo o tempo. Conforme o tempo aumenta, a distância percorrida também aumentará. Isso é o que se chama de crescimento linear.
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De um modo geral, as relações que representam essas funções, tem a forma

    f(x) = ax   (a ∈ , onde * denota o conjunto dos números reais não nulos - sem o zero). 
   Dizemos que trata-se de uma Função Linear.

Note que a função é aplicada em x, ou seja, depende do valor de x
Cada valor x é associado ao seu y correspondente à quantia dada por f(x) = ax (reveja aqui os conceitos gerais sobre Funções).


Colocando no Plano

Toda função pode ser representada no plano cartesiano. 
No caso da Função Linear, a cada variação de x, por menor que seja, existirá um valor y correspondente, que quando marcado no plano, toma a forma de uma reta.

O valor a é chamado de coeficiente angular, pois é ele quem determina a inclinação da reta em relação ao eixo x (neste caso, o eixo dos minutos). Veja:


A Função Linear é um caso particular da Função Afim




Mas o que é uma Função Afim?


É uma função bem parecida com a linear, mas com um termo a mais em sua composição. É toda função que puder ser escrita na forma

    f(x) = ax + b (com a diferente de zero)


Observe que se b = 0, teremos f(x) = ax. Isto é, voltaremos para a função linear. E mais, se o a fosse zero, tanto na função afim quanto na linear, teríamos uma função dita Constante, já que pra qualquer valor de x no Domínio (conjunto de partida) chegaríamos no mesmo y no contradomínio.


O a continua sendo quem dita a inclinação da reta em relação ao eixo horizontal. O valor b diz o comportamento dela em relação ao eixo vertical, ou seja, o que pode-se chamar de "altura". Conforme b aumenta, o gráfico "sobe", e o contrário também ocorre.

Agora, se x = 0, perceba que a função assumirá o valor b. Isto quer dizer que quando a reta não tem coordenada no eixo horizontal, ela corta o eixo vertical no ponto y = b.

Do mesmo modo que na função linear, se a for positivo, o gráfico será crescente e se for negativo, será decrescente
Em outras palavras, os valores da função aumentam quando o domínio (eixo x) aumenta (ela é crescente) ou os valores que resultam da aplicação da função diminuem conforme vão aumentando os valores do domínio (se ela for uma função decrescente).

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Veja o exemplo da função f(x) = x − 1


Oportunamente faremos uma publicação especialmente para tratar dos principais gráficos de funções e outras maneiras de obtê-los.

A princípio, basta saber 2 pontos que satisfazem a Função Afim para poder esboçar seu gráfico.

Mas por que 2 pontos?

Porque por 2 pontos do plano existe uma única reta que passa por eles.

No exemplo acima, os pontos (1, 0), ou seja, x = 1 e y = 0, e (2, 1), isto é, x = 2 y = 1, fazem parte do gráfico desta função. Como sei disso? Ora, dando valores a x e chegando a valores do y

    Veja:
            Quando atribuo o valor
1 para o x, a função me retorna 0 
                 f(1) = 1 − 1.     Então,      f(1) = 0  e assim o ponto (1, 0) pertence ao gráfico.

            Isto quer dizer que a função aplicada no valor x = 1 de seu domínio retorna 0, que é a imagem deste x. Ou ainda, em x = 1 a função vale 0. Então x é chamado Raiz da Função (é o valor que zera a função). 

         Analogamente, se x = 2, teremos f(2) = 2 − 1 = 1. Então, o ponto (2, 1) também está neste gráfico. Como se trata de uma reta, bastam 2 pontos para traçá-la!

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Note que, no caso da Função Afim, para qualquer valor no eixo x (domínio da função), é possível encontrar um valor correspondente no eixo y (eixo do contradomínio). 
Assim, todos os valores x, isto é, todos os números reais, são o domínio dessa função, bem como todos os números reais do contradomínio (eixo y) são imagem de algum x do domínio. 

    Portanto,

         Domínio (D) da função é:   D(f) = ℝ   (Conjunto dos Números Reais)
         Imagem  (Im) da função :  Im(f) = ℝ



Toda função pode ser denotada (nomeada, representada) por qualquer letra, nome ou símbolo que você quiser. É usual utilizar a letra f para falar de funções, mas nada impede de termos uma função w(x), por exemplo. Ou se a variável não for x (pois também pode-se denotar a variável por outras letras), pode-se ter w(t), s(h), etc.





Bem, depois de tanta informação, é melhor praticar um pouco!



EXERCÍCIOS




1. Sendo uma função r dada pela lei r(x) = 2x + 5, onde o domínio é o conjunto A = {1, 2, 4, 7} e o contradomínio é o conjunto B = {0, 1, 2, 8, 9, 11, 13, 19, 20}, qual é o conjunto Imagem esperado?
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2. Seja s: ℝ → , dada por s(x) = 3x, determinar os conjuntos Domínio e Imagem.
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3. Por que a relação h que tem como domínio
T = {0, 1, 2} e contradomínio W = {−1, 1}, onde os elementos dos conjuntos são associados conforme abaixo, não é função?


          h:
                     T                W
                     0       →       1
                     1       →        1
                     1            −1
                     2            −1

_____________________________     

4. Esboce o gráfico das seguintes funções:

    a)   f(x) = x
    b)   s(x) = x + 2
    c)   t(x) = x − 3
    d)   h(x) = −x
    e)   r(x) = −2x + 2
    f)   w(x) = 1 − 3x
    g)   z(x) = 5
    h)   c(x) = 2x, se x ≥  0, −2x − 1, se x<  0
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5. Em quais itens do exercício anterior o gráfico da função é uma reta decrescente?


quarta-feira, 11 de março de 2015

Relações e Funções - Parte II

O Contradomínio

No estudo das Relações que fizemos anteriormente, vimos que um certo conjunto possui elementos que se relacionam com os elementos de um segundo conjunto. Essas relações podem ser de vários tipos e, especialmente, temos as relações que representam as chamadas Funções. Já vamos entrar mais a fundo neste tema, mas antes precisamos de algumas informações.



O conjunto inicial - muitas vezes chamado de conjunto de partida - é dito Domínio. O segundo conjunto, que possui todos os possíveis valores para a função/relação assumir, é o Contradomínio.



Todos os elementos do Contradomínio que tiverem um correspondente no domínio formam um conjunto especial chamado Imagem. Caso não sobre elementos sem "receber a flecha" (sem ter correspondente) no conjunto de chegada, então o próprio contradomínio será também o conjunto imagem da relação. Isso ocorre no exemplo da figura acima, ou seja, Im = {x, y, z}.


Função

Se a cada valor do conjunto de partida (domínio) eu relacionar (associar) um único valor no conjunto de chegada (contradomínio), isto é, se você partir de um elemento do domínio e chegar a apenas um elemento do contradomínio, então esta relação é chamada de Função. Veja:



Neste exemplo, temos como Domínio o conjunto {1, 2, 3}, e como Contradomínio, o conjunto {2, 3, 4}. Repare que não sobram elementos no contradomínio sem se relacionar, portanto ele também é o conjunto Imagem.

Note que cada item do Domínio é levado (se relaciona, corresponde) a somente 1 item no Contradomínio.

Vejamos o que esta função faz:

  • o elemento 1 do Domínio tem como correspondente o 2 no Contradomínio;
  • o 2 do domínio tem o 3 como correspondente no Contradomínio;
  • o 3 do domínio é ligado ao 4 do Contradomínio.

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Então, cada item x do domínio, corresponde um item dado por x + 1 no contradomínio. E essa relação é a Lei de Formação da Função.
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Numa função, quando aplicamos a Lei de Formação a um elemento do domínio, chegamos ao seu correspondente na Imagem, e esse correspondente é chamado de y. Também podemos chamá-lo de f(x), pois estamos aplicando a relação f (Lei de Formação da Função) ao elemento x do domínio, obtendo como resultado o elemento y da imagem.

Assim, podemos descrever a função como:

    f: Dom → Contradomínio (CD)
            x  → f(x)

Lemos a notação acima do seguinte modo: f é uma função com partida no conjunto do Domínio e chegada no conjunto Contradomínio, onde a cada x do Domínio é associado um único valor f(x), dito Imagem de x, no contradomínio.

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Aplicando esta notação à função do nosso exemplo, temos:

    f: {1, 2, 3} → {2, 3, 4}
             x       →  x + 1

Mais diretamente, após definidos os conjuntos de Domínio e Imagem, podemos citar a função pela Lei de Formação:

    f(x) = x + 1
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Observe que ao substituirmos cada valor x do domínio na lei de formação, encontraremos seu respectivo y da imagem, ou seja, o seu f(x). Por exemplo,

    Substituindo x por 1:

        f(1) = 1 + 1 → f(1) = 2

    Substituindo x por 2:
 
        f(2) = 2 + 1 → f(2) = 2

    Substituindo x por 3:

        f(3) = 3 + 1 → f(3) = 4



Em breve publicarei mais a respeito de Funções. Enquanto isso, exercite seu aprendizado!!!




Exercícios



1. Identifique qual (ou quais) relação (ou relações) a seguir representa (m) uma função:



2. Dados os conjuntos A = { −1, 0, 1, 2, 3 } e B = { −3, −2, −1, 0, 1, 2 } 
e a relação R = {(x,y) ∈ A X B / y = x − 2}



        a) Descreva R em forma de pares ordenados;         
        b) Construa um diagrama de flechas;       
        c) Identifique se essa relação é uma função. 


3. Dada a função f(x) = 3x - 1, qual é o valor de f(-5)?



4. Seja a relação R dada por R = 1/x. Para quais valores de x podemos dizer que R representa uma função?



5. Dadas as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x - 1, qual o valor de f(g(3))?



sábado, 21 de fevereiro de 2015

Relações e Funções - Parte I

As Relações


Nossas vidas estão repletas delas por toda a parte, não é mesmo? Nos relacionamos com familiares, amigos, colegas de trabalho, e mesmo em locais mais informais como dentro do transporte público, em um passeio no shopping. A todo momento precisamos falar com as pessoas, interagir, realizar ações ou depender que outros as realizem para nós. Assim nosso cotidiano está repleto de vários tipos de relações.


Mas como funciona isso na Matemática?
Bem, para que isso ocorra em nossas vidas, são necessárias pelo menos duas pessoas. Você pode comprar um pãozinho ou ajudar uma tia idosa em seus afazeres, e das duas formas está se relacionando com alguém, ou seja, há ao menos duas pessoas envolvidas nisso.

Os números também precisam dessa ideia. Eles até podem se "auto-relacionar", mas não terá muita graça!



As relações fazem com que, a partir de alguns valores em um determinado conjunto, cheguemos a outros valores em um segundo conjunto. O modo como isso acontece é que vai diferenciar cada relação. Por exemplo, eu quero pegar todos os números pares entre 1 e 10 (inclusive o 10) e chegar num outro conjunto formado pelos números consecutivos a eles. Traduzindo, vou pegar os números pares do primeiro conjunto, adicionar 1, e obter os elementos do segundo conjunto.

Primeiro Conjunto: 2, 4, 6, 8, 10

Relação: Pegar Cada Elemento do Primeiro Conjunto e Somar 1

Segundo Conjunto: 3, 5, 7, 9, 11

Note que há uma ordem para descrevermos a relação. Isto quer dizer que não podemos bagunçá-la, isto é, não podemos relacionar o 4, por exemplo, com qualquer número do segundo conjunto. Ele está obrigatoriamente "ligado" ao número 5, através da relação que impomos. Assim, as relações são as seguintes:

2 → 3; 4 → 5; 6 → 7; 8 → 9; 10 → 11.


Podemos mostrar isso do seguinte modo: R = {(2;3), (4;5), (6;7), (8;9), (10;11)}.

Esta última descrição é chamada de Pares Ordenados.

São pares de números que dependem de uma ordem, (e é aqui que entra a Relação), para serem obtidos. O primeiro número de cada par vem do primeiro conjunto que utilizamos para trabalhar a relação. O segundo número é o resultado da aplicação da relação ao primeiro conjunto. Desse modo, o primeiro conjunto é chamado de Domínio, e o segundo é dito Imagem da relação.

Com isso, deve ficar mais nítida a explicação de Plano Cartesiano que exploramos aqui.

Veja no diagrama abaixo:



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Para criarmos o Plano Cartesiano, devemos proceder do seguinte modo:

   − Traçar uma reta vertical e uma horizontal perpendicular à primeira;
    Marcar a intersecção das duas retas como ponto de origem;
   − Na reta horizontal, colocaremos uma direção, representada por uma seta;
    Na reta vertical também será colocada uma direção;
    A partir da origem, para a direita na reta horizontal, teremos valores positivos e para a esquerda valores negativos;
   − Na reta vertical, da origem para cima teremos valores positivos, e da origem para baixo serão colocados os valores negativos.

    Essas retas enumeradas e com direção definida são chamadas de eixos.


    O eixo horizontal é dito eixo das abscissas. 
    O eixo vertical é dito eixo das ordenadas.
    Os valores a serem colocados no eixo das abscissas são os valores do conjunto Domínio
    Os valores a serem colocados no eixo das ordenadas são os valores do conjunto Imagem






Na prática, o eixo horizontal pode ser chamado de eixo X e o eixo vertical de Y. E os valores são colocados respeitando a ordem dos pares ordenados (x,y), onde x é elemento do primeiro conjunto (Domínio) e y é elemento do segundo conjunto (Imagem).

Colocando a Relação que vimos no início do tópico no Plano Cartesiano:


   − No eixo X colocamos os valores referentes ao conjunto Domínio;
   − Por cada valor traçamos uma reta perpendicular ao eixo X, passando por esse valor;
   − No eixo Y colocamos os valores referentes ao conjunto Imagem;
   − Por cada valor traçamos uma reta perpendicular ao eixo Y, passando por esse valor;
   − Marcamos os pontos de intersecção das retas referentes a cada valor dos pares ordenados.



    Essas marcações (as bolinhas cinzas da imagem acima) representam a relação colocada no plano cartesiano.

No próximo tópico veremos como identificar a relação que representa uma função.



quarta-feira, 21 de janeiro de 2015

E aí?

segunda-feira, 19 de janeiro de 2015

O Plano e as Figuras - Final

Circunferência ou Círculo

Sim, há diferenças gritantes entre essas duas palavras. A circunferência é apenas a "borda" da figura,

ou seja, são todos os pontos que estão a uma mesma distância de um outro ponto, chamado de Centro da Circunferência. Aqui veremos como chegar ao valor de seu comprimento e algumas características como raio e diâmetro. Ela será abordada mais profundamente pela Geometria Analítica, sobre a qual discorreremos oportunamente.


Já o Círculo, é toda a região interior da circunferência. Ele ocupa uma área no plano em que está inserido e por isso é tratado pela Geometria Plana, que é o assunto deste tópico.



A Circunferência


Pense em um ponto (o chamaremos de Ponto O) que esteja num plano qualquer. Tome uma distância fixa e imagine todos os pontos que estão distantes de O a esse mesmo valor fixo. Esses pontos formam a Circunferência.



O Ponto O é  o centro da circunferência. A distância de O até qualquer ponto da figura é sempre a mesma, e é chamada de raio. Se você unir 2 pontos distintos  da circunferência por um segmento passando pelo centro, este segmento terá o dobro do tamanho do raio, e será chamado de diâmetro.



Já quando se une 2 pontos quaisquer, sem passar pelo centro, temos a corda.






Há uma relação muito conhecida da circunferência que nos fornece um valor igualmente famoso, que é o pi (π). Trata-se de um número irracional, obtido através da razão entre o comprimento e o diâmetro da circunferência, e é sempre o mesmo valor (qualquer que seja a circunferência). Por ser irracional, suas casas decimais são infinitas e sem padrão. Muitos aproximam seu valor para 3,14 afim de facilitar certos cálculos.



Bem, como o pi é o comprimento (c) dividido pelo diâmetro (d), podemos escrever




    π = c / d

   Como π é uma constante de valor sempre positivo, então 


    π ∙ d = c (apenas multiplicamos os membros da equação por d, ou seja, multiplicamos em "cruz")



   Mas lembre-se que o diâmetro é o dobro do valor do raio (r), isto é, d = 2r

   Assim:
                π∙d = c  π∙2r = c
               
   Portanto, o comprimento é dado por c = 2π∙r

O Círculo


Já sabemos que o círculo é toda a parte interior da circunferência. Sendo assim ele ocupa uma determinada área (A) no plano em que está inserido e, essa área, pode ser calculada pela seguinte expressão:



A = π∙ r2


Dada uma circunferência, o comprimento da parte compreendida entre dois raios é dito
Arco (na figura, indicado pela letra L), e sua parte interna é o Setor Circular (em verde na figura ao lado). O ângulo formado pelos raios é chamado de Ângulo Central, e ele é utilizado no cálculo da área do setor circular, assim:

    A = πr2 ∙ θ/360

    Onde θ é a medida do ângulo central.








quinta-feira, 15 de janeiro de 2015

O Plano e as Figuras - Parte II

O que são ângulos?



Quando duas semi-retas (que estão em um plano) se encontram, dizemos que este ponto em comum é chamado de Vértice (ou origem). Já a área - ou região, lugar geométrico - compreendida entre essas duas semi-retas é dita Ângulo. Se estiver observando a parte de dentro das semi-retas, estará vendo o ângulo interno compreendido entre elas, já a parte de fora trata-se do ângulo externo.






Uma das unidades de medida do ângulo é o Grau (°). Oportunamente falaremos com mais ênfase sobre as características e utilidades dos ângulos, bem como suas unidades de medida. Por ora, entenda que o grau representa uma das 360 partes iguais que pode ser dividida uma circunferência.

E vale observar as seguintes características dos ângulos:

    Menor que 90°   -> ângulo agudo
    Igual a 90°         -> ângulo reto
    Maior que 90°   -> ângulo obtuso
    Igual a 180°      ->  ângulo raso 




Trataremos aqui de algumas características das figuras planas, de forma introdutória. Mais à frente abordaremos tais figuras individualmente, afim de aprofundar o conhecimento sobre suas características e aplicações.



Triângulos


O triângulo é uma figura geométrica que marca um espaço no plano, delimitado por três segmentos de retas. Esses segmentos são concorrentes e formam os vértices da figura. Todo triângulo tem 3 lados e também 3 ângulos internos, cuja soma é de 180°. Pode-se enxergar ainda um triângulo como a união de três pontos não colineares de um mesmo plano.

Para que um triângulo possa existir, qualquer um de seus lados deve ter tamanho menor do que a soma dos outros dois lados. Isso é chamado de desigualdade triangular.

  Num triângulo ABC qualquer, de lados AB, BC e AC, tem-se:

                                     AB < BC 
+ AC



Classificação dos Triângulos


Podemos identificar um triângulo pelos seus ângulos internos ou pelas medidas dos lados.


Todo triângulo tem 3 alturas. Para encontrar a altura relativa a um lado, trace uma linha perpendicular desde o vértice oposto a este lado. Esse segmento que vai do vértice ao seu lado oposto é dita altura relativa a este lado. 

Nossa! Complicou tudo!!!

Então vamos descomplicar!

Na figura a seguir, temos o triângulo BCD. Marcamos nele a altura h que é relativa ao lado CD
Além disso, já dispusemos nesta imagem o que significa o termo Perpendicular, bem como a descrição da fórmula para encontrar a área que o triângulo ocupa no plano.



Note que o lado para o qual encontramos a altura é aquele que deve ser utilizado como base do triângulo para podermos calcular sua área.

Quadriláteros


Já vimos que os quadriláteros são polígonos de 4 lados. E a partir deles as figuras já apresentam as diagonais, que são segmentos que unem os seus vértices não consecutivos. Seus ângulos internos somam 360° 


Os Principais Quadriláteros


  • Paralelogramo
                É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Estão nesta classificação os quadrados, retângulos e losangos. Suas diagonais se cruzam no ponto médio e têm a área calculada multiplicando-se base pela altura. Ainda, os ângulos opostos possuem a mesma medida.

                Em um paralelogramo qualquer, temos:

                Note que o símbolo // indica que os elementos comparados são paralelos.

                - Retângulos
                         Possuem os 4 ângulos internos iguais a 90°.
                         Seus lados opostos são paralelos entre si e com mesma medida.

                - Losangos
                         É um paralelogramo que tem os 4 lados iguais (congruentes, com mesma medida). 
                         Sua área também pode ser obtida pela metade do produto de suas diagonais.

                - Quadrados
                         São ao mesmo tempo retângulos e losangos. Ou seja, tem os 4 lados iguais e também os quatro ângulos internos com mesma medida. É o único quadrilátero regular.



  • Trapézio
             É o quadrilátero que tem somente dois de seus lados opostos paralelos (chamados de bases). Eles podem ser:
   
                      - isósceles   -> lados não paralelos iguais
                      - escaleno   -> lados não paralelos diferentes
                      - retângulo -> possui dois ângulos retos


                             Sua área é obtida somando-se as duas bases, multiplicando o resultado pela altura e dividindo tudo por 2  -  (base maior + base menor)∙altura/2
                           


Segue um resumo com as áreas dos principais quadriláteros:
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Na Parte III desta publicação falaremos sobre as circunferências.



quarta-feira, 14 de janeiro de 2015

O Plano e as Figuras - Parte I

Direto ao Plano

Essa palavra (plano) não é estranha aos ouvidos de ninguém e boa parte tem uma certa noção sobre o que ela representa - isso quando não a vincula ao verbo planejar, o que não tem nada a ver com o que vamos estudar. Mas, para chegar até ele foram precisos alguns passos, que são bem simples. 



Primeiro Precisaremos dos Pontos e das Retas


A partir de um ponto, podemos imaginar infinitas retas que passam por ele. 

Mas calma lá, retas? 

Sim, pense em dois pontos diferentes. Agora pense numa linha que os una e, por fim, imagine que essa linha não tenha fim, nem para um lado e nem para o outro. Se você está pensando que essa linha é a nossa ilustração de uma reta, pois está completamente certo! Agora ficou melhor pensar nas várias retas passando por um ponto, não é mesmo?



Sobre as retas, se duas delas se cruzam, dizemos que são concorrentes. 
Se não se cruzam e não forem coincidentes (uma reta em cima da outra, o que consideramos como sendo a mesma reta), então serão paralelas.



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        A situação acima nos mostra, dentre outras coisas, que por dois pontos diferentes podemos traçar uma reta. E essa reta é única! Isto é, não existe nenhuma outra reta que passe pelos mesmos dois pontos. E esses pontos são chamados de colineares (mesma linha), o que quer dizer que estão contidos em uma mesma reta.

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Um ponto importante é saber que um pedaço de uma reta se chama segmento de reta (tem início e fim). Já um trecho de uma reta (tem início e não tem fim) se chama semi-reta.










O Plano

Agora que vimos um pouco sobre pontos e retas, podemos falar sobre os Planos



Um plano nada mais é que um lugar com uma superfície! Um lugar onde estarão muitas coisas das quais vamos falar. Qualquer coisa pode representar este lugar, por exemplo a superfície de uma mesa. Tudo o que estiver sobre a mesa são elementos deste plano. A lousa seria um outro exemplo, assim como o chão ou uma parede ou até mesmo uma folha de papel sulfite. Quando tratamos de um plano na matemática, então podemos dizer que ele é um lugar geométrico (local onde "moram" os objetos que vamos tratar).


Quando se tem uma reta, tenha certeza de que ela terá um plano que a contém por completo, ou seja, ela estará contida totalmente neste plano. Para ser mais detalhista, um plano pode ser determinado por:


    - três pontos não colineares;
    - uma reta e um ponto fora dela;
    - duas retas paralelas distintas;
    - duas retas que se cruzam (concorrentes)

Sendo assim, quando tratarmos de um plano, basta visualizá-lo como o local onde estarão os objetos geométricos em estudo, e perceber que todos estarão no mesmo local (plano), a não ser que seja dito o contrário.



As Figuras Planas



São figuras - formas geométricas - que representam um determinado espaço (área) de um plano, e elas possuem duas medidas (dimensões) - largura (ou altura) e comprimento. Já sabemos da existência de várias delas pois são relativamente comuns ao nosso cotidiano. 


Quando você agrupa 3 ou mais segmentos de reta (tomando o cuidado de unir sempre o final de um segmento com o início do outro), temos algumas das figuras planas. Podemos dizer que cada um desses segmentos corresponde a um lado da figura. Assim:


    Figuras com 3 ou mais lados são os Polígonos, e estes podem ser:


  • Triângulos      (3 lados)
  • Quadriláteros (4 lados)
  • Pentágonos    (5 lados)
  • Hexágonos    (6 lados)
  • Heptágonos   (7 lados)
  • Octógonos     (8 lados)
  • Eneágonos     (9 lados)
  • Decágonos    (10 lados)
  • Undecágonos (11 lados)
  • Dodecágonos (12 lados)
  • Tridecágonos (13 lados)            

    Há outras figuras planas e, as mais comumente estudadas - além das citadas acima, são as circunferências, elipses, hipérboles e parábolas.


As medidas dos comprimentos das figuras são ditas Perímetros. E a sua parte interna é a chamada Área.





Observação 1: Estas últimas figuras: as circunferências, elipses, hipérboles e parábolas, são na verdade seções cônicas (falaremos a respeito oportunamente) e podemos tratá-las como figuras planas por haver sempre um plano que as contém.


Observação 2: Circunferência é a parte externa da figura, a borda dela. Toda a parte interna, isto é, a área interna da circunferência, é chamada de Círculo.