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quarta-feira, 21 de janeiro de 2015

E aí?

segunda-feira, 19 de janeiro de 2015

O Plano e as Figuras - Final

Circunferência ou Círculo

Sim, há diferenças gritantes entre essas duas palavras. A circunferência é apenas a "borda" da figura,

ou seja, são todos os pontos que estão a uma mesma distância de um outro ponto, chamado de Centro da Circunferência. Aqui veremos como chegar ao valor de seu comprimento e algumas características como raio e diâmetro. Ela será abordada mais profundamente pela Geometria Analítica, sobre a qual discorreremos oportunamente.


Já o Círculo, é toda a região interior da circunferência. Ele ocupa uma área no plano em que está inserido e por isso é tratado pela Geometria Plana, que é o assunto deste tópico.



A Circunferência


Pense em um ponto (o chamaremos de Ponto O) que esteja num plano qualquer. Tome uma distância fixa e imagine todos os pontos que estão distantes de O a esse mesmo valor fixo. Esses pontos formam a Circunferência.



O Ponto O é  o centro da circunferência. A distância de O até qualquer ponto da figura é sempre a mesma, e é chamada de raio. Se você unir 2 pontos distintos  da circunferência por um segmento passando pelo centro, este segmento terá o dobro do tamanho do raio, e será chamado de diâmetro.



Já quando se une 2 pontos quaisquer, sem passar pelo centro, temos a corda.






Há uma relação muito conhecida da circunferência que nos fornece um valor igualmente famoso, que é o pi (π). Trata-se de um número irracional, obtido através da razão entre o comprimento e o diâmetro da circunferência, e é sempre o mesmo valor (qualquer que seja a circunferência). Por ser irracional, suas casas decimais são infinitas e sem padrão. Muitos aproximam seu valor para 3,14 afim de facilitar certos cálculos.



Bem, como o pi é o comprimento (c) dividido pelo diâmetro (d), podemos escrever




    π = c / d

   Como π é uma constante de valor sempre positivo, então 


    π ∙ d = c (apenas multiplicamos os membros da equação por d, ou seja, multiplicamos em "cruz")



   Mas lembre-se que o diâmetro é o dobro do valor do raio (r), isto é, d = 2r

   Assim:
                π∙d = c  π∙2r = c
               
   Portanto, o comprimento é dado por c = 2π∙r

O Círculo


Já sabemos que o círculo é toda a parte interior da circunferência. Sendo assim ele ocupa uma determinada área (A) no plano em que está inserido e, essa área, pode ser calculada pela seguinte expressão:



A = π∙ r2


Dada uma circunferência, o comprimento da parte compreendida entre dois raios é dito
Arco (na figura, indicado pela letra L), e sua parte interna é o Setor Circular (em verde na figura ao lado). O ângulo formado pelos raios é chamado de Ângulo Central, e ele é utilizado no cálculo da área do setor circular, assim:

    A = πr2 ∙ θ/360

    Onde θ é a medida do ângulo central.








quinta-feira, 15 de janeiro de 2015

O Plano e as Figuras - Parte II

O que são ângulos?



Quando duas semi-retas (que estão em um plano) se encontram, dizemos que este ponto em comum é chamado de Vértice (ou origem). Já a área - ou região, lugar geométrico - compreendida entre essas duas semi-retas é dita Ângulo. Se estiver observando a parte de dentro das semi-retas, estará vendo o ângulo interno compreendido entre elas, já a parte de fora trata-se do ângulo externo.






Uma das unidades de medida do ângulo é o Grau (°). Oportunamente falaremos com mais ênfase sobre as características e utilidades dos ângulos, bem como suas unidades de medida. Por ora, entenda que o grau representa uma das 360 partes iguais que pode ser dividida uma circunferência.

E vale observar as seguintes características dos ângulos:

    Menor que 90°   -> ângulo agudo
    Igual a 90°         -> ângulo reto
    Maior que 90°   -> ângulo obtuso
    Igual a 180°      ->  ângulo raso 




Trataremos aqui de algumas características das figuras planas, de forma introdutória. Mais à frente abordaremos tais figuras individualmente, afim de aprofundar o conhecimento sobre suas características e aplicações.



Triângulos


O triângulo é uma figura geométrica que marca um espaço no plano, delimitado por três segmentos de retas. Esses segmentos são concorrentes e formam os vértices da figura. Todo triângulo tem 3 lados e também 3 ângulos internos, cuja soma é de 180°. Pode-se enxergar ainda um triângulo como a união de três pontos não colineares de um mesmo plano.

Para que um triângulo possa existir, qualquer um de seus lados deve ter tamanho menor do que a soma dos outros dois lados. Isso é chamado de desigualdade triangular.

  Num triângulo ABC qualquer, de lados AB, BC e AC, tem-se:

                                     AB < BC 
+ AC



Classificação dos Triângulos


Podemos identificar um triângulo pelos seus ângulos internos ou pelas medidas dos lados.


Todo triângulo tem 3 alturas. Para encontrar a altura relativa a um lado, trace uma linha perpendicular desde o vértice oposto a este lado. Esse segmento que vai do vértice ao seu lado oposto é dita altura relativa a este lado. 

Nossa! Complicou tudo!!!

Então vamos descomplicar!

Na figura a seguir, temos o triângulo BCD. Marcamos nele a altura h que é relativa ao lado CD
Além disso, já dispusemos nesta imagem o que significa o termo Perpendicular, bem como a descrição da fórmula para encontrar a área que o triângulo ocupa no plano.



Note que o lado para o qual encontramos a altura é aquele que deve ser utilizado como base do triângulo para podermos calcular sua área.

Quadriláteros


Já vimos que os quadriláteros são polígonos de 4 lados. E a partir deles as figuras já apresentam as diagonais, que são segmentos que unem os seus vértices não consecutivos. Seus ângulos internos somam 360° 


Os Principais Quadriláteros


  • Paralelogramo
                É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Estão nesta classificação os quadrados, retângulos e losangos. Suas diagonais se cruzam no ponto médio e têm a área calculada multiplicando-se base pela altura. Ainda, os ângulos opostos possuem a mesma medida.

                Em um paralelogramo qualquer, temos:

                Note que o símbolo // indica que os elementos comparados são paralelos.

                - Retângulos
                         Possuem os 4 ângulos internos iguais a 90°.
                         Seus lados opostos são paralelos entre si e com mesma medida.

                - Losangos
                         É um paralelogramo que tem os 4 lados iguais (congruentes, com mesma medida). 
                         Sua área também pode ser obtida pela metade do produto de suas diagonais.

                - Quadrados
                         São ao mesmo tempo retângulos e losangos. Ou seja, tem os 4 lados iguais e também os quatro ângulos internos com mesma medida. É o único quadrilátero regular.



  • Trapézio
             É o quadrilátero que tem somente dois de seus lados opostos paralelos (chamados de bases). Eles podem ser:
   
                      - isósceles   -> lados não paralelos iguais
                      - escaleno   -> lados não paralelos diferentes
                      - retângulo -> possui dois ângulos retos


                             Sua área é obtida somando-se as duas bases, multiplicando o resultado pela altura e dividindo tudo por 2  -  (base maior + base menor)∙altura/2
                           


Segue um resumo com as áreas dos principais quadriláteros:
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Na Parte III desta publicação falaremos sobre as circunferências.



quarta-feira, 14 de janeiro de 2015

O Plano e as Figuras - Parte I

Direto ao Plano

Essa palavra (plano) não é estranha aos ouvidos de ninguém e boa parte tem uma certa noção sobre o que ela representa - isso quando não a vincula ao verbo planejar, o que não tem nada a ver com o que vamos estudar. Mas, para chegar até ele foram precisos alguns passos, que são bem simples. 



Primeiro Precisaremos dos Pontos e das Retas


A partir de um ponto, podemos imaginar infinitas retas que passam por ele. 

Mas calma lá, retas? 

Sim, pense em dois pontos diferentes. Agora pense numa linha que os una e, por fim, imagine que essa linha não tenha fim, nem para um lado e nem para o outro. Se você está pensando que essa linha é a nossa ilustração de uma reta, pois está completamente certo! Agora ficou melhor pensar nas várias retas passando por um ponto, não é mesmo?



Sobre as retas, se duas delas se cruzam, dizemos que são concorrentes. 
Se não se cruzam e não forem coincidentes (uma reta em cima da outra, o que consideramos como sendo a mesma reta), então serão paralelas.



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        A situação acima nos mostra, dentre outras coisas, que por dois pontos diferentes podemos traçar uma reta. E essa reta é única! Isto é, não existe nenhuma outra reta que passe pelos mesmos dois pontos. E esses pontos são chamados de colineares (mesma linha), o que quer dizer que estão contidos em uma mesma reta.

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Um ponto importante é saber que um pedaço de uma reta se chama segmento de reta (tem início e fim). Já um trecho de uma reta (tem início e não tem fim) se chama semi-reta.










O Plano

Agora que vimos um pouco sobre pontos e retas, podemos falar sobre os Planos



Um plano nada mais é que um lugar com uma superfície! Um lugar onde estarão muitas coisas das quais vamos falar. Qualquer coisa pode representar este lugar, por exemplo a superfície de uma mesa. Tudo o que estiver sobre a mesa são elementos deste plano. A lousa seria um outro exemplo, assim como o chão ou uma parede ou até mesmo uma folha de papel sulfite. Quando tratamos de um plano na matemática, então podemos dizer que ele é um lugar geométrico (local onde "moram" os objetos que vamos tratar).


Quando se tem uma reta, tenha certeza de que ela terá um plano que a contém por completo, ou seja, ela estará contida totalmente neste plano. Para ser mais detalhista, um plano pode ser determinado por:


    - três pontos não colineares;
    - uma reta e um ponto fora dela;
    - duas retas paralelas distintas;
    - duas retas que se cruzam (concorrentes)

Sendo assim, quando tratarmos de um plano, basta visualizá-lo como o local onde estarão os objetos geométricos em estudo, e perceber que todos estarão no mesmo local (plano), a não ser que seja dito o contrário.



As Figuras Planas



São figuras - formas geométricas - que representam um determinado espaço (área) de um plano, e elas possuem duas medidas (dimensões) - largura (ou altura) e comprimento. Já sabemos da existência de várias delas pois são relativamente comuns ao nosso cotidiano. 


Quando você agrupa 3 ou mais segmentos de reta (tomando o cuidado de unir sempre o final de um segmento com o início do outro), temos algumas das figuras planas. Podemos dizer que cada um desses segmentos corresponde a um lado da figura. Assim:


    Figuras com 3 ou mais lados são os Polígonos, e estes podem ser:


  • Triângulos      (3 lados)
  • Quadriláteros (4 lados)
  • Pentágonos    (5 lados)
  • Hexágonos    (6 lados)
  • Heptágonos   (7 lados)
  • Octógonos     (8 lados)
  • Eneágonos     (9 lados)
  • Decágonos    (10 lados)
  • Undecágonos (11 lados)
  • Dodecágonos (12 lados)
  • Tridecágonos (13 lados)            

    Há outras figuras planas e, as mais comumente estudadas - além das citadas acima, são as circunferências, elipses, hipérboles e parábolas.


As medidas dos comprimentos das figuras são ditas Perímetros. E a sua parte interna é a chamada Área.





Observação 1: Estas últimas figuras: as circunferências, elipses, hipérboles e parábolas, são na verdade seções cônicas (falaremos a respeito oportunamente) e podemos tratá-las como figuras planas por haver sempre um plano que as contém.


Observação 2: Circunferência é a parte externa da figura, a borda dela. Toda a parte interna, isto é, a área interna da circunferência, é chamada de Círculo.




sexta-feira, 9 de janeiro de 2015

Medidas - Como lidar com os tamanhos e distâncias

Medindo Tudo!

    Desde muito cedo todos somos expostos a vários tipos de medidas. "Ah não, a casa da Vovó é muito longe, mais de 100 km daqui!"; "Deixe de preguiça, menino! A padaria não está nem há 50 metros!" 
    Sei que deve estar achando isso bem ridículo, mas muitos ouvem essas frases daí de cima ou outras parecidas... hehehe. Isso é só para demonstrar o quão acostumados nós somos com as tais das medidas! Distâncias, altura, peso, massa, tempo e muitas outras que nos cercam durante toda a vida. Mas como lidar com elas? Você conseguiria calcular quanto de ração será necessário para alimentar seu cãozinho a cada refeição sabendo que ele precisa de 200g diárias do alimento, mas o pacote vem marcando em kg?


    Exemplos simples como esse aparecem aos montes pra todos nós. Então é preciso, mais do que nunca, estar totalmente familiarizado com as medidas e suas conversões!


O Metro

    Devido a diversas divergências com os tamanhos das unidades de medida adotadas antigamente, houve um aumento enorme nas brigas travadas por conta destas diferenças. Imagine que você compra algum "pedaço de terra", que nas suas medidas equivaleriam a uma chácara, e na hora de cobrar o vendedor o faz de acordo com as medidas dele, que poderiam ser por exemplo equivalentes a cobrar pela área de um sítio (bem maior que uma chácara!). Pois bem, essas questões comerciais se tornaram insustentáveis, e foi na França, por volta da época da Revolução Francesa, que se viu a urgente necessidade de se criar um sistema de medida padronizado.


    O tamanho padrão da medida (metro) seria uma parte das 10.000.000 de partes iguais que um quadrante de um meridiano terrestre fosse dividido. Isso, reproduzido em laboratório, representa o espaço percorrido pela luz - no vácuo - durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 segundo.



   Está definido, assim, o tamanho padrão do Metro, sendo adotado como padrão internacional de medida de comprimento.



    Para medir distâncias ou tamanhos maiores ou menores que o metro, foi-se desenvolvido um método a partir do sistema decimal, criando outras medidas com base no tamanho de 1 metro. Dividindo-se o tamanho do metro em 100 partes iguais, temos o centímetro - que é o nome dado a cada uma dessas partes. Se a divisão for em 10 partes iguais, temos o decímetro e, se for em 1000 partes, temos o milímetro.



    Da mesma forma consegue-se valores maiores que o metro. Multiplicando-o por 10 partes iguais, 100 ou 1000. Sendo seus múltiplos chamados, respectivamente, de decâmetro, hectômetro e quilômetro. Veja a tabela a seguir:




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Por exemplo: Quantos quilômetros há da casa de João até a casa de sua Tia, sabendo-se que são exatamente 5.000 metros?


    Conforme a tabela da imagem acima, para transformarmos os metros em quilômetros precisamos dividir por 10, a cada unidade. Isto quer dizer que para chegar ao quilômetro, é preciso primeiramente dividir por 10 para chegar ao decâmetro, dividir novamente por 10 para chegar ao hectômetro e finalmente dividir mais uma vez por 10 para chegar ao quilômetro.



    Na prática, dividir ou multiplicar por 10 é o mesmo que deslocar a vírgula decimal para a direita ou esquerda. Quando se divide por 10, deslocamos a vírgula para a esquerda. Na multiplicação, a cada conta deslocamos a vírgula uma casa para a direita.



    Então, 5.000 metros pode ser visto do seguinte modo:



            5.000,00 m -> apenas coloquei a vírgula para indicar onde estão as casas decimais.

            Dividindo por 10, vamos mudar a vírgula uma casa para a esquerda, e teremos então 500,00 dam.


            Procedendo com as divisões, é possível concluir que 5.000m equivalem a 5km (foram feitas três divisões por 10 e, consequentemente, deslocado a vírgula 3 casas decimais para a esquerda).

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Agora, vamos ver a transformação de 200hm em cm.



    200hm = 200,00hm



    Deslocando a vírgula a cada divisão por 10, faremos 4 deslocamentos. Assim,



        200hm = 2.000.000cm

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Observe que o expoente do metro é 1: m = m1. E por isso a vírgula é deslocada de 1 em 1 casa, para a direita ou esquerda dependendo da operação. Quando se tratar de medidas com expoentes diferentes de 1, como o metro quadrado (m2), o metro cúbico (m3), teremos de deslocar a vírgula tantas casas quantos forem os números dos expoentes. Isto quer dizer que, no caso dos metros quadrados, para mudar a unidade, as divisões ou multiplicações deverão ser feitas por 100 (o que equivale ao expoente 2) - e consequentemente a vírgula se deslocará de 2 em 2 casas. Caso se trate de metros cúbicos (expoente 3), as divisões ou multiplicações devem ser feitas por 1000. E assim por diante.


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Por exemplo: Converta 400cm2 em m2.



    Bem, vamos prosseguir conforme era feito no caso do metro. Dividindo ou multiplicando para alterar a unidade. Neste exemplo, precisamos sair do cm2 e chegar no m2. Como estamos lidando com unidades quadradas (expoente 2), precisamos usar o 100 para dividir ou multiplicar, isto é, deslocar a vírgula 2 casas decimais conforme o caso. Como precisamos "ir para a esquerda" (reveja a tabela acima), a vírgula será deslocada 2 casas decimais, a cada unidade, para a esquerda. Veja:



    400cm2 = 4dm2 -> dividimos por 100 (andamos 2 casas decimais com a vírgula para a esquerda)

    
    Agora precisamos ir do dm2 para o m2. O procedimento é o mesmo, dividimos novamente por 100. Então:


    4dm2 = 0,04m2 -> deslocamos a vírgula mais 2 casas para a esquerda.



    Portanto, 400cm2 equivalem a 0,04m2.



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    Com as outras unidades de medida (capacidade, volume, superfície, etc) o raciocínio é o mesmo.
    Em outra oportunidade falaremos mais a respeito de tais medidas.

Vamos Praticar um Pouco!



Quanto vale em metros:


a) 3,6 km + 450 m

b) 6,8 hm - 0,34 dam

c) 16 dm + 54,6 cm + 200mm

d) 2,4 km + 82 hm + 12,5 dam

e) 82,5 hm + 6 hm


terça-feira, 6 de janeiro de 2015

Equações do Segundo Grau - Parte II

As Raízes

Como visto na Parte I deste tópico,  uma equação da forma ax2 + bx + c = 0 admite duas raízes reais distintas se o valor de ∆ for maior do que zero. E tais raízes são encontradas utilizando-se a fórmula geral de resolução (Bhaskara):



Se tivermos ∆ = 0, teremos dois valores reais iguais como raízes da equação, ou seja, uma raiz dupla, e que é dada por x = − b / 2a


No caso de ∆ ser negativo, não há solução no conjunto dos reais para a equação, pois não existe um número real negativo tal que possa ser extraída dele a raiz quadrada.


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Por exemplo, vejamos a equação x2 − x  2 = 0 


    Calculando o discriminante (encontrando o valor do ∆)



        ∆ = b2 − 4ac

        ∆ = (−1)2 − 4 1∙(2)
        ∆ = 1 + 8
        ∆ = 9


    Prosseguindo com a resolução, utilizaremos Bhaskara:



        x1 = (1 + 3)/2 - Observe que −b é o mesmo que − (−1) = 1

        x2 = (1 − 3)/2 - Já coloquei direto o resultado da raiz quadrada do ∆, que dá 3.

        Segue que as duas raízes desta equação são x1 = 2 e x21. 
        Portanto, o conjunto solução é S = {2, −1}.
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Caso a equação não seja apresentada em sua forma completa, isto é, se faltar algum dos coeficientes - ou ambos (b = 0 e/ou c = 0), é claro que também dá para chegar nas raízes (se existirem) por Bhaskara. No entanto há meios mais diretos para isso. Veja:


Observe que, se b = 0, temos de ficar atentos ao sinal de c/a. Caso seja negativo, ele se juntará ao sinal de menos que já existe ali e tornará a expressão positiva (ver regas dos sinais). Então não haverá problema no cálculo da raiz. Do contrário, se c/a for positivo, ao se juntar com o sinal de menos que ali existe a expressão será negativa, o que impediria o cálculo da raiz quadrada e tornaria a equação sem solução.

Quando ocorre c = 0, basta lançar mão da fatoração, e colocar o x (comum aos fatores) em evidência. Assim chega-se numa multiplicação igualada a zero e portanto apenas um dos termos resultará no zero (o termo x ou o termo ax + b).

Vejamos os exemplos a seguir:
    
    Resolva as seguintes equações:
    a) 2x2 − 4 = 0
    b) x2 + 3x = 0

    Como são equações do segundo grau incompletas, não é necessário recorrermos a Bhaskara para resolvê-las. Confira:


    
Lembre-se que numa multiplicação cujo resultado é zero, obrigatoriamente um dos fatores será zero (Por exemplo, 2∙x = 0, então um dos fatores é zero. Como está claro que o 2 não o é, o x obrigatoriamente vale zero neste caso)! Por isso o item b) foi resolvido deste modo.


Relações entre as raízes e os coeficientes

    Pode-se descobrir as raízes de uma equação do segundo grau através de uma relação existente entre a soma e o produto delas com os coeficientes. 

    Sejam x1 e x2 tais raízes. As chamadas relações de Soma e Produto são as seguintes:


__________________
Por exemplo:


    Resolva a equação: x2 + 2x + 1



            Acabamos de ver que a soma das raízes deve ser igual a (b)/a. Ou seja,

                    x1 + x2 = (−2)/1 = −2


            Vimos que o produto delas deve valer c/a. Então, 

                   x1 x2 = 1/1 = 1


            Devemos, desse modo, encontrar os dois números que somados resultam −2 e multiplicados resultam 1.  Ora, mas eles somente podem ser −1 e ele próprio novamente, ou seja, uma raiz dupla igual a −1. Verifique:



                  (−1) + (−1) = −2  -> Relação da Soma

                  (−1) (−1) =   1  -> Relação do Produto


            Portanto as raízes são −1 e −1 (isso mesmo, é uma raiz dupla!).

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Fatorando

    Podemos utilizar a fatoração para descrever uma equação quadrática. Para isso precisamos conhecer as suas raízes.
  
    Sejam x1 e x2 tais valores. Uma dada equação ax2 + bx + c = 0 poderá ser reescrita da seguinte forma:
            a(xx1)(x − x2)


    Vamos a um exemplo já utilizado aqui: x2 − x − 2 = 0.
    Sabemos que as raízes são 2 e −1. Também temos o valor de a, que é 1.


    Podemos então escrever:

        
        1∙(x − 2)∙(x − (−1))   =   (x − 2)∙(x + 1)


    Faça as contas. Utilize a distributiva e verifique que esta expressão retornará exatamente na equação inicialmente dada.

Vamos Praticar um Pouco



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1. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
    a) 5x2 − 3x − 2 = 0
    b) 3x2 + 55 = 0
    c) x2 − 6x = 0

2. Encontre as raízes das equações:
    a) x2 − x − 20 = 0
    b) x2 − 3x − 4 = 0
    c) 2x2 − 7x + 3 = 0

3. O número −3 é a raiz da equação x2 − 7x − 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c.

4. O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás é igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?

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domingo, 4 de janeiro de 2015

Equações do Segundo Grau - Parte I

O que são?



Vamos assumir que todos já viram os conteúdos a respeito de equações, certo? Se for preciso, relembre aqui. Mantendo a premissa da igualdade, temos agora uma sentença matemática com uma incógnita - valor desconhecido - que está elevada à potência de grau 2. 

Essas equações são também conhecidas como quadráticas e podem representar uma função polinomial (cenas dos próximos capítulos) cujo gráfico é representado por uma parábola. 



Sua forma geral é a seguinte:



    Os termos em azul claro (a, b e c) são chamados coeficientes, sendo:

  • a -> coeficiente quadrático (que acompanha o termo elevado ao quadrado);
  • b -> coeficiente linear (acompanha o termo de grau 1 - a equação de primeiro grau também é dita linear);
  • c -> constante ou termo independente.

O maior grau de potência na expressão é o 2, e é por isso que a equação recebe o nome de Equação do Segundo Grau. 



Note que é essencial que o coeficiente a seja diferente de zero, pois se não o fosse, a equação seria de primeiro grau (bx + c = 0).



Resolver uma equação é encontrar os valores que satisfaçam a igualdade e, para a equação quadrática, utilizaremos a mais comumente divulgada Fórmula de Bhaskara. Contudo, vejamos primeiro algumas informações úteis para podermos prosseguir. 



Discriminante da Equação de Segundo Grau - 


Antes de entrar diretamente na resolução, veremos um pouco sobre um item essencial ao método que utilizaremos para chegar nos resultados finais. O discriminante (conhecido popularmente pela letra grega maiúscula Delta - ∆).

    Trata-se da expressão 

        b2 − 4ac


a qual faz parte da fórmula de Bhaskara, e vai nos indicar coisas importantes para a resolução da equação. 



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    Se tivermos  o discriminante (∆) estritamente positivo (maior do que zero), a equação terá como raízes 2 valores reais distintos.



    Já com o discriminante nulo (igual a zero), a solução será um único número real (na verdade uma raiz dupla, representada por dois valores iguais).



    E por fim, se o discriminante for negativo, não teremos raiz (solução - valor que faz a equação zerar) dentro do conjunto dos números reais.

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    Resumindo,


Bhaskara

O matemático indiano Bhaskara Akaria foi quem divulgou resultados diversos a respeito da equação quadrática, e a fórmula a seguir leva o seu nome:




As raízes obtidas por essa fórmula são o resultado da equação. No local onde aparecem simultâneos os sinais de soma e subtração, interprete como sendo uma raiz obtida a partir daquela forma utilizando-se a soma e a segunda raiz utilizando-se da subtração.


  
No próximo tópico trataremos sobre as raízes da equação quadrática, bem como suas relações com soma, produto e fatoração. Bons estudos!