Equações do Segundo Grau - Parte II

As Raízes

Como visto na Parte I deste tópico,  uma equação da forma ax² + bx + c = 0 admite duas raízes reais distintas se o valor de ∆ for maior do que zero. E tais raízes são encontradas utilizando-se a fórmula geral de resolução (Bhaskara):

Se tivermos ∆ = 0, teremos dois valores reais iguais como raízes da equação, ou seja, uma raiz dupla, e que é dada por x = − b / 2a

No caso de ∆ ser negativo, não há solução no conjunto dos reais para a equação, pois não existe um número real negativo tal que possa ser extraída dele a raiz quadrada.

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Por exemplo, vejamos a equação x² − x − 2 = 0 

    Calculando o discriminante (encontrando o valor do ∆)

        ∆ = b² − 4ac

        ∆ = (−1)² − 4 ∙1∙(−2)

        ∆ = 1 + 8

        ∆ = 9

    Prosseguindo com a resolução, utilizaremos Bhaskara:

        x₁ = (1 + 3)/2 - Observe que −b é o mesmo que − (−1) = 1

        x₂ = (1 − 3)/2 - Já coloquei direto o resultado da raiz quadrada do ∆, que dá 3.

        Segue que as duas raízes desta equação são x₁ = 2 e x₂ = −1. 

        Portanto, o conjunto solução é S = {2, −1}.

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Caso a equação não seja apresentada em sua forma completa, isto é, se faltar algum dos coeficientes - ou ambos (b = 0 e/ou c = 0), é claro que também dá para chegar nas raízes (se existirem) por Bhaskara. No entanto há meios mais diretos para isso. Veja:

Observe que, se b = 0, temos de ficar atentos ao sinal de c/a. Caso seja negativo, ele se juntará ao sinal de menos que já existe ali e tornará a expressão positiva (ver regas dos sinais). Então não haverá problema no cálculo da raiz. Do contrário, se c/a for positivo, ao se juntar com o sinal de menos que ali existe a expressão será negativa, o que impediria o cálculo da raiz quadrada e tornaria a equação sem solução.

Quando ocorre c = 0, basta lançar mão da fatoração, e colocar o x (comum aos fatores) em evidência. Assim chega-se numa multiplicação igualada a zero e portanto apenas um dos termos resultará no zero (o termo x ou o termo ax + b).

Vejamos os exemplos a seguir:

    

    Resolva as seguintes equações:

    a) 2x² − 4 = 0

    b) x² + 3x = 0

    Como são equações do segundo grau incompletas, não é necessário recorrermos a Bhaskara para resolvê-las. Confira:

    

Lembre-se que numa multiplicação cujo resultado é zero, obrigatoriamente um dos fatores será zero (Por exemplo, 2∙x = 0, então um dos fatores é zero. Como está claro que o 2 não o é, o x obrigatoriamente vale zero neste caso)! Por isso o item b) foi resolvido deste modo.

Relações entre as raízes e os coeficientes

    Pode-se descobrir as raízes de uma equação do segundo grau através de uma relação existente entre a soma e o produto delas com os coeficientes. 

    Sejam x₁ e x₂ tais raízes. As chamadas relações de Soma e Produto são as seguintes:

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Por exemplo:

    Resolva a equação: x² + 2x + 1

            Acabamos de ver que a soma das raízes deve ser igual a (−b)/a. Ou seja,

                    x₁ + x₂ = (−2)/1 = −2

            Vimos que o produto delas deve valer c/a. Então, 

                   x₁ ∙ x₂ = 1/1 = 1

            Devemos, desse modo, encontrar os dois números que somados resultam −2 e multiplicados resultam 1.  Ora, mas eles somente podem ser −1 e ele próprio novamente, ou seja, uma raiz dupla igual a −1. Verifique:

                  (−1) + (−1) = −2  -> Relação da Soma

                  (−1) ∙ (−1) =   1  -> Relação do Produto

            Portanto as raízes são −1 e −1 (isso mesmo, é uma raiz dupla!).

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Fatorando

    Podemos utilizar a fatoração para descrever uma equação quadrática. Para isso precisamos conhecer as suas raízes.

  

    Sejam x₁ e x₂ tais valores. Uma dada equação ax² + bx + c = 0 poderá ser reescrita da seguinte forma:

            a∙(x − x₁)∙(x − x₂)

    Vamos a um exemplo já utilizado aqui: x² − x − 2 = 0.

    Sabemos que as raízes são 2 e −1. Também temos o valor de a, que é 1.

    Podemos então escrever:

        

        1∙(x − 2)∙(x − (−1))   =   (x − 2)∙(x + 1)

    Faça as contas. Utilize a distributiva e verifique que esta expressão retornará exatamente na equação inicialmente dada.

Vamos Praticar um Pouco

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1. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:

    a) 5x² − 3x − 2 = 0

    b) 3x² + 55 = 0

    c) x² − 6x = 0

2. Encontre as raízes das equações:
    a) x² − x − 20 = 0
    b) x² − 3x − 4 = 0
    c) 2x² − 7x + 3 = 0

3. O número −3 é a raiz da equação x² − 7x − 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c.

4. O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás é igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?

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