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sábado, 21 de fevereiro de 2015

Relações e Funções - Parte I

As Relações


Nossas vidas estão repletas delas por toda a parte, não é mesmo? Nos relacionamos com familiares, amigos, colegas de trabalho, e mesmo em locais mais informais como dentro do transporte público, em um passeio no shopping. A todo momento precisamos falar com as pessoas, interagir, realizar ações ou depender que outros as realizem para nós. Assim nosso cotidiano está repleto de vários tipos de relações.


Mas como funciona isso na Matemática?
Bem, para que isso ocorra em nossas vidas, são necessárias pelo menos duas pessoas. Você pode comprar um pãozinho ou ajudar uma tia idosa em seus afazeres, e das duas formas está se relacionando com alguém, ou seja, há ao menos duas pessoas envolvidas nisso.

Os números também precisam dessa ideia. Eles até podem se "auto-relacionar", mas não terá muita graça!



As relações fazem com que, a partir de alguns valores em um determinado conjunto, cheguemos a outros valores em um segundo conjunto. O modo como isso acontece é que vai diferenciar cada relação. Por exemplo, eu quero pegar todos os números pares entre 1 e 10 (inclusive o 10) e chegar num outro conjunto formado pelos números consecutivos a eles. Traduzindo, vou pegar os números pares do primeiro conjunto, adicionar 1, e obter os elementos do segundo conjunto.

Primeiro Conjunto: 2, 4, 6, 8, 10

Relação: Pegar Cada Elemento do Primeiro Conjunto e Somar 1

Segundo Conjunto: 3, 5, 7, 9, 11

Note que há uma ordem para descrevermos a relação. Isto quer dizer que não podemos bagunçá-la, isto é, não podemos relacionar o 4, por exemplo, com qualquer número do segundo conjunto. Ele está obrigatoriamente "ligado" ao número 5, através da relação que impomos. Assim, as relações são as seguintes:

2 → 3; 4 → 5; 6 → 7; 8 → 9; 10 → 11.


Podemos mostrar isso do seguinte modo: R = {(2;3), (4;5), (6;7), (8;9), (10;11)}.

Esta última descrição é chamada de Pares Ordenados.

São pares de números que dependem de uma ordem, (e é aqui que entra a Relação), para serem obtidos. O primeiro número de cada par vem do primeiro conjunto que utilizamos para trabalhar a relação. O segundo número é o resultado da aplicação da relação ao primeiro conjunto. Desse modo, o primeiro conjunto é chamado de Domínio, e o segundo é dito Imagem da relação.

Com isso, deve ficar mais nítida a explicação de Plano Cartesiano que exploramos aqui.

Veja no diagrama abaixo:



________________________

Para criarmos o Plano Cartesiano, devemos proceder do seguinte modo:

   − Traçar uma reta vertical e uma horizontal perpendicular à primeira;
    Marcar a intersecção das duas retas como ponto de origem;
   − Na reta horizontal, colocaremos uma direção, representada por uma seta;
    Na reta vertical também será colocada uma direção;
    A partir da origem, para a direita na reta horizontal, teremos valores positivos e para a esquerda valores negativos;
   − Na reta vertical, da origem para cima teremos valores positivos, e da origem para baixo serão colocados os valores negativos.

    Essas retas enumeradas e com direção definida são chamadas de eixos.


    O eixo horizontal é dito eixo das abscissas. 
    O eixo vertical é dito eixo das ordenadas.
    Os valores a serem colocados no eixo das abscissas são os valores do conjunto Domínio
    Os valores a serem colocados no eixo das ordenadas são os valores do conjunto Imagem






Na prática, o eixo horizontal pode ser chamado de eixo X e o eixo vertical de Y. E os valores são colocados respeitando a ordem dos pares ordenados (x,y), onde x é elemento do primeiro conjunto (Domínio) e y é elemento do segundo conjunto (Imagem).

Colocando a Relação que vimos no início do tópico no Plano Cartesiano:


   − No eixo X colocamos os valores referentes ao conjunto Domínio;
   − Por cada valor traçamos uma reta perpendicular ao eixo X, passando por esse valor;
   − No eixo Y colocamos os valores referentes ao conjunto Imagem;
   − Por cada valor traçamos uma reta perpendicular ao eixo Y, passando por esse valor;
   − Marcamos os pontos de intersecção das retas referentes a cada valor dos pares ordenados.



    Essas marcações (as bolinhas cinzas da imagem acima) representam a relação colocada no plano cartesiano.

No próximo tópico veremos como identificar a relação que representa uma função.



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