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quarta-feira, 11 de março de 2015

Relações e Funções - Parte II

O Contradomínio

No estudo das Relações que fizemos anteriormente, vimos que um certo conjunto possui elementos que se relacionam com os elementos de um segundo conjunto. Essas relações podem ser de vários tipos e, especialmente, temos as relações que representam as chamadas Funções. Já vamos entrar mais a fundo neste tema, mas antes precisamos de algumas informações.



O conjunto inicial - muitas vezes chamado de conjunto de partida - é dito Domínio. O segundo conjunto, que possui todos os possíveis valores para a função/relação assumir, é o Contradomínio.



Todos os elementos do Contradomínio que tiverem um correspondente no domínio formam um conjunto especial chamado Imagem. Caso não sobre elementos sem "receber a flecha" (sem ter correspondente) no conjunto de chegada, então o próprio contradomínio será também o conjunto imagem da relação. Isso ocorre no exemplo da figura acima, ou seja, Im = {x, y, z}.


Função

Se a cada valor do conjunto de partida (domínio) eu relacionar (associar) um único valor no conjunto de chegada (contradomínio), isto é, se você partir de um elemento do domínio e chegar a apenas um elemento do contradomínio, então esta relação é chamada de Função. Veja:



Neste exemplo, temos como Domínio o conjunto {1, 2, 3}, e como Contradomínio, o conjunto {2, 3, 4}. Repare que não sobram elementos no contradomínio sem se relacionar, portanto ele também é o conjunto Imagem.

Note que cada item do Domínio é levado (se relaciona, corresponde) a somente 1 item no Contradomínio.

Vejamos o que esta função faz:

  • o elemento 1 do Domínio tem como correspondente o 2 no Contradomínio;
  • o 2 do domínio tem o 3 como correspondente no Contradomínio;
  • o 3 do domínio é ligado ao 4 do Contradomínio.

_____________________________

Então, cada item x do domínio, corresponde um item dado por x + 1 no contradomínio. E essa relação é a Lei de Formação da Função.
_____________________________



Numa função, quando aplicamos a Lei de Formação a um elemento do domínio, chegamos ao seu correspondente na Imagem, e esse correspondente é chamado de y. Também podemos chamá-lo de f(x), pois estamos aplicando a relação f (Lei de Formação da Função) ao elemento x do domínio, obtendo como resultado o elemento y da imagem.

Assim, podemos descrever a função como:

    f: Dom → Contradomínio (CD)
            x  → f(x)

Lemos a notação acima do seguinte modo: f é uma função com partida no conjunto do Domínio e chegada no conjunto Contradomínio, onde a cada x do Domínio é associado um único valor f(x), dito Imagem de x, no contradomínio.

_____________________________

Aplicando esta notação à função do nosso exemplo, temos:

    f: {1, 2, 3} → {2, 3, 4}
             x       →  x + 1

Mais diretamente, após definidos os conjuntos de Domínio e Imagem, podemos citar a função pela Lei de Formação:

    f(x) = x + 1
_____________________________


Observe que ao substituirmos cada valor x do domínio na lei de formação, encontraremos seu respectivo y da imagem, ou seja, o seu f(x). Por exemplo,

    Substituindo x por 1:

        f(1) = 1 + 1 → f(1) = 2

    Substituindo x por 2:
 
        f(2) = 2 + 1 → f(2) = 2

    Substituindo x por 3:

        f(3) = 3 + 1 → f(3) = 4



Em breve publicarei mais a respeito de Funções. Enquanto isso, exercite seu aprendizado!!!




Exercícios



1. Identifique qual (ou quais) relação (ou relações) a seguir representa (m) uma função:



2. Dados os conjuntos A = { −1, 0, 1, 2, 3 } e B = { −3, −2, −1, 0, 1, 2 } 
e a relação R = {(x,y) ∈ A X B / y = x − 2}



        a) Descreva R em forma de pares ordenados;         
        b) Construa um diagrama de flechas;       
        c) Identifique se essa relação é uma função. 


3. Dada a função f(x) = 3x - 1, qual é o valor de f(-5)?



4. Seja a relação R dada por R = 1/x. Para quais valores de x podemos dizer que R representa uma função?



5. Dadas as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x - 1, qual o valor de f(g(3))?



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