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sexta-feira, 17 de abril de 2015

Funções Linear e Afim - Descobrindo e Exercitando




Quase Tudo é Função



Com o que foi visto até o momento é possível relacionar uma série de conceitos matemáticos ao nosso dia-a-dia. 

Por exemplo, se você é estudante, certamente sua sala de aula tem por volta de 30 a 40 pessoas. Vamos admitir que tenha 40. Temos, então, o conjunto de alunos de sua sala, formado por essas 40 pessoas. Deve haver, certamente, 40 carteiras, para que cada aluno possa se acomodar. Assim, existe o conjunto formado pelas carteiras da sala de aula. Observe que cada aluno ocupa somente uma carteira. Em outras palavras, um elemento do conjunto de alunos está relacionado a apenas um elemento do conjunto de carteiras. Então, a relação entre os alunos e as carteiras da sala de aula pode ser vista como uma função.


Assim como o exposto acima, há inúmeros exemplos de funções e suas aplicações na vida de todos nós (o custo do combustível em função do quanto o utilizamos, as contas de energia e água de acordo com o tanto que consumimos, e por aí vai). Vamos ver dois tipos delas, a princípio.

A Reta

Quando vimos a respeito de Proporcionalidade - reveja aqui - percebemos que se duas grandezas são proporcionais, então elas crescem (ou decrescem) no mesmo ritmo, dependendo aí se são direta ou inversamente proporcionais.

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Por exemplo,

    Se eu caminho 50 metros a cada minuto, então, conforme aumenta o tempo transcorrido, também aumenta a distância caminhada. Em 2 minutos, serão 100 metros (que é o mesmo que 2 ∙ 50), em 3 minutos teremos 350 = 150 metros percorridos, e em x minutos serão x50 metros percorridos. Assim, a distância vai depender do tempo, sempre na proporção Distância = tempo ∙ 50

Isto quer dizer que a distância está em função do tempo, ou, em outras palavras, conforme o tempo varia, a distância também o faz.

Assim, temos d = 50x, com d sendo a distância e x sendo o tempo. Conforme o tempo aumenta, a distância percorrida também aumentará. Isso é o que se chama de crescimento linear.
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De um modo geral, as relações que representam essas funções, tem a forma

    f(x) = ax   (a ∈ , onde * denota o conjunto dos números reais não nulos - sem o zero). 
   Dizemos que trata-se de uma Função Linear.

Note que a função é aplicada em x, ou seja, depende do valor de x
Cada valor x é associado ao seu y correspondente à quantia dada por f(x) = ax (reveja aqui os conceitos gerais sobre Funções).


Colocando no Plano

Toda função pode ser representada no plano cartesiano. 
No caso da Função Linear, a cada variação de x, por menor que seja, existirá um valor y correspondente, que quando marcado no plano, toma a forma de uma reta.

O valor a é chamado de coeficiente angular, pois é ele quem determina a inclinação da reta em relação ao eixo x (neste caso, o eixo dos minutos). Veja:


A Função Linear é um caso particular da Função Afim




Mas o que é uma Função Afim?


É uma função bem parecida com a linear, mas com um termo a mais em sua composição. É toda função que puder ser escrita na forma

    f(x) = ax + b (com a diferente de zero)


Observe que se b = 0, teremos f(x) = ax. Isto é, voltaremos para a função linear. E mais, se o a fosse zero, tanto na função afim quanto na linear, teríamos uma função dita Constante, já que pra qualquer valor de x no Domínio (conjunto de partida) chegaríamos no mesmo y no contradomínio.


O a continua sendo quem dita a inclinação da reta em relação ao eixo horizontal. O valor b diz o comportamento dela em relação ao eixo vertical, ou seja, o que pode-se chamar de "altura". Conforme b aumenta, o gráfico "sobe", e o contrário também ocorre.

Agora, se x = 0, perceba que a função assumirá o valor b. Isto quer dizer que quando a reta não tem coordenada no eixo horizontal, ela corta o eixo vertical no ponto y = b.

Do mesmo modo que na função linear, se a for positivo, o gráfico será crescente e se for negativo, será decrescente
Em outras palavras, os valores da função aumentam quando o domínio (eixo x) aumenta (ela é crescente) ou os valores que resultam da aplicação da função diminuem conforme vão aumentando os valores do domínio (se ela for uma função decrescente).

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Veja o exemplo da função f(x) = x − 1


Oportunamente faremos uma publicação especialmente para tratar dos principais gráficos de funções e outras maneiras de obtê-los.

A princípio, basta saber 2 pontos que satisfazem a Função Afim para poder esboçar seu gráfico.

Mas por que 2 pontos?

Porque por 2 pontos do plano existe uma única reta que passa por eles.

No exemplo acima, os pontos (1, 0), ou seja, x = 1 e y = 0, e (2, 1), isto é, x = 2 y = 1, fazem parte do gráfico desta função. Como sei disso? Ora, dando valores a x e chegando a valores do y

    Veja:
            Quando atribuo o valor
1 para o x, a função me retorna 0 
                 f(1) = 1 − 1.     Então,      f(1) = 0  e assim o ponto (1, 0) pertence ao gráfico.

            Isto quer dizer que a função aplicada no valor x = 1 de seu domínio retorna 0, que é a imagem deste x. Ou ainda, em x = 1 a função vale 0. Então x é chamado Raiz da Função (é o valor que zera a função). 

         Analogamente, se x = 2, teremos f(2) = 2 − 1 = 1. Então, o ponto (2, 1) também está neste gráfico. Como se trata de uma reta, bastam 2 pontos para traçá-la!

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Note que, no caso da Função Afim, para qualquer valor no eixo x (domínio da função), é possível encontrar um valor correspondente no eixo y (eixo do contradomínio). 
Assim, todos os valores x, isto é, todos os números reais, são o domínio dessa função, bem como todos os números reais do contradomínio (eixo y) são imagem de algum x do domínio. 

    Portanto,

         Domínio (D) da função é:   D(f) = ℝ   (Conjunto dos Números Reais)
         Imagem  (Im) da função :  Im(f) = ℝ



Toda função pode ser denotada (nomeada, representada) por qualquer letra, nome ou símbolo que você quiser. É usual utilizar a letra f para falar de funções, mas nada impede de termos uma função w(x), por exemplo. Ou se a variável não for x (pois também pode-se denotar a variável por outras letras), pode-se ter w(t), s(h), etc.





Bem, depois de tanta informação, é melhor praticar um pouco!



EXERCÍCIOS




1. Sendo uma função r dada pela lei r(x) = 2x + 5, onde o domínio é o conjunto A = {1, 2, 4, 7} e o contradomínio é o conjunto B = {0, 1, 2, 8, 9, 11, 13, 19, 20}, qual é o conjunto Imagem esperado?
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2. Seja s: ℝ → , dada por s(x) = 3x, determinar os conjuntos Domínio e Imagem.
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3. Por que a relação h que tem como domínio
T = {0, 1, 2} e contradomínio W = {−1, 1}, onde os elementos dos conjuntos são associados conforme abaixo, não é função?


          h:
                     T                W
                     0       →       1
                     1       →        1
                     1            −1
                     2            −1

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4. Esboce o gráfico das seguintes funções:

    a)   f(x) = x
    b)   s(x) = x + 2
    c)   t(x) = x − 3
    d)   h(x) = −x
    e)   r(x) = −2x + 2
    f)   w(x) = 1 − 3x
    g)   z(x) = 5
    h)   c(x) = 2x, se x ≥  0, −2x − 1, se x<  0
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5. Em quais itens do exercício anterior o gráfico da função é uma reta decrescente?


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